Question

5．如图，在?ABCD中，AE⊥CD，AF⊥BC，垂足分别为E，F，∠EAF=60°，CE=1，CF=4．求?ABCD各边长．

Answer 1

分析 由四边形内角和求出∠C=120°，由平行四边形的性质得出四边形ABCD是平行四边形AB=CD，AD=BC，∠B=∠D=60°，由含30°角的直角三角形的性质求出AB=2BF，设BF=x，求出AD=2DE，得出方程，解方程求出x，即可得出?ABCD各边长．

解答 解：∵AE⊥CD，AF⊥BC，∠EAF=60°，
∴∠C=360°-90°-90°-60°=120°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，∠B=∠D=180°-∠C=60°，
∴在Rt△BAF中，∠BAF=30°，
∴AB=2BF，
设BF=x，则AB=CD=2x，BC=BF+CF=x+4，
∵DE=CD-CE=2x-1，
∵在Rt△ADE中，∠DAE=30°，
∴AD=2DE，
∴x+4=2（2x-1），
解得：x=2，
∴AB=CD=4，BC=AD=6．

点评 本题考查了平行四边形的性质、含30°角的直角三角形的性质、四边形内角和定理等知识；由含30°角的直角三角形的性质和已知条件得出方程是解决问题的关键．