Question

已知正比例函数y=x与反比例函数y=

1

x

（x＞0）相交于点A，而反比例函数y=

1

x

（x＞0）又与一次函数y=4-x相交于点B和C．
（1）求A、B、C的坐标．
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）先解方程组

y=x y= 1 x

可确定A点坐标，然后解方程组

y=4-x y= 1 x

可确定B、C的坐标；
（2）过B、A、C三点向x轴作垂线，垂足为B′、A′、C′，利用S_△ABC=S_{梯形BB′C′C}-S_{梯形BB′A′A}-S_{梯形AA′C′C}和梯形的面积公式计算．

解答：解：（1）解方程组

y=x y= 1 x

得

x=1 y=1

或

x=-1 y=-1

，
∴A点坐标为（1，1）；
解方程组

y=4-x y= 1 x

得

x1=2+ 3 y1=2- 3

，

x2=2- 3 y2=2+ 3

，
∴C点坐标为（2+

3

，2-

3

），B点坐标为（2-

3

，2+

3

）；

（2）过B、A、C三点向x轴作垂线，垂足为B′、A′、C′，
BB′=2+

3

，AA′=1，CC′=2-

3

，B′C′=2

3

，B′A′=

3

-1，A′C′=

3

+1
则S_△ABC=S_{梯形BB′C′C}-S_{梯形BB′A′A}-S_{梯形AA′C′C}=2

3

．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．