Question

【题目】已知如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题：

（1）在图1中，写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的关系为

（2）如图2，在图1的结论下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．

①仔细观察，在图2中“8字形”的个数：______个；

②若，，试求∠P的度数；

③∠B和∠D为任意角时，其他条件不变，试直接写出∠P与∠B，∠D之间的数量关系，不需要说明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠A+∠D=∠B+∠C；（2）①6；②；③.

【解析】

（1）利用三角形外角定理和对顶角相等，即可得出∠A+∠D=∠B+∠C；

（2）①通过分析图1中“8字形”的结构，可通过任意两条不相交的直线和其内部的直线结构来判断图2中“8字形”的数量；

②利用第（1）的结论可知∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，再根据平分线的性质，将上式分别相减，即可得到∠P的度数；

③根据第②题的结论即可解答.

解：(1)根据三角形外角定理可得：

∠A+∠D=∠DOB

∠B+∠C =∠AOC

在根据对顶角相等，得

∠DOB=∠AOC

∴∠A+∠D=∠B+∠C；

(2)①6；

②∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∵∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，

∴∠D∠P=∠P∠B，

即∠P=(∠D+∠B)，

∵∠D=40,∠B=36

∴∠P=(40+36)=38；

③由第②题可得

∠P=(∠B+∠D).