题目内容

如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠ADC=60°，C是弧AB的中点．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若BC=6 $数学公式$ cm，求图中阴影部分的面积．

解：（1）△ABC是等边三角形．
∵C是弧AB的中点，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴∠ADC=∠ABC=∠BAC=∠BDC=60°
∴∠ACB=60°，
∴AC=AB=BC，
∴△ABC是等边三角形；

（2）连接BO、OC，过O作OE⊥BC于E，
∵BC=6 $\text{[math]}$ cm，
∴BE=EC=3 $\text{[math]}$ cm，
∵∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°，
∴∠BOE=60°，在Rt△BOE中，sin60°= $\text{[math]}$ ，
∴OB=6cm，
∴S_扇形= $\text{[math]}$ =12πcm²，
∵S_△BOC= $\text{[math]}$ ×6 $\text{[math]}$ ×3=9 $\text{[math]}$ cm²，
∴S_阴影=12π-9 $\text{[math]}$ cm²，
答：图中阴影部分的面积是（12π-9 $\text{[math]}$ ）cm²．
分析：（1）先由C是弧AB的中点可得出 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由圆周角定理可知∠ADC=∠ABC=∠BAC=∠BDC=60°，再由三角形内角和定理可知∠ACB=60°，故可得出结论；
（2）连接BO、OC，过O作OE⊥BC于E，由垂径定理可得出BE的长，根据圆周角定理可得出∠BOC的度数，在Rt△BOE中由锐角三角函数的定义求出OB的长，根据S_阴影=S_扇形-S_△BOC即可得出结论．
点评：本题考查的是圆周角定理、垂径定理及扇形的面积等相关知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．