Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，tanB=

1

2

，O是边BC上的一点，且CO=3．以点O为圆心的圆经过点A与AB交于点D，求⊙O的半径和AD的长？

Answer 1

分析：连接OA，过O点作OE⊥AB于E，根据题意可得AC、AB的长度，根据勾股定理，可得OA的长度，即半径的长度；通过做OE⊥AB，即可推出△BOE∽△BAC，求出OE的长度，然后在△AOE中，即可推出AE的长度，最可，通过垂径定理可推出AD的长度．

解答：解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，tanB=

1

2

，
∴AC=6，AB=6

5

（2分）
连接OA，在Rt△AOC中，∠C=90°，CO=3，
∴OA=3

5

．即⊙O的半径为3

5

（2分）
过O点作OE⊥AB于E，得△BOE∽△BAC
∴

OE

AC

=

OB

AB

，

OE

6

=

9

6 5

，OE=

9 5

5

（2分）
∴在Rt△AOE中，∠AEO=90°，
AE=

OA2-OE2

=

(3 5 )2-( 9 5 5 )2

=

12 5

5

（2分）
∵OE⊥AB，点O是圆心
∴AD=2AE=

24 5

5

．（2分）

点评：本题主要考查解直角三角形、垂径定理、相似三角形的判定和性质，关键在于作辅助线OA、OE．