Question

【题目】如图，在中，是的平分线，于，于，并且，动点以的速度从点向点运动，动点以的速度从点向点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为．

(1)求证:在运动过程中，不管取何值，都有；

(2)当取何值时，与全等；

(3)若，当时，求此时的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）当时，△DFE与△DMG全等；(3)

【解析】

（1）由角平分线的性质可知DF=DM，所以△AED和△DGC的面积转化为底AE和CG的比值，根据路程=速度×时间求出AE和CG的长度即可证明在运动过程中，不管取何值，都有；
（2）分两种情况进行讨论：①当0＜t＜3时，②当3＜t＜5时，分别根据△DFE≌△DMG，得出EF=GM，据此列出关于t的方程，进行求解即可；
（3）利用等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得答案．

（1）∵是的平分线， DF⊥AB，DM⊥AC，
∴DF=DM，
∵

∴，

∵点E以3cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，
∴，，

∴，

即，

∴，

∴在运动过程中，不管取何值，都有．

（2）∵是的平分线， DF⊥AB，DM⊥AC，
∴，

∴，
①当0＜t＜3时，点G在线段CM上，点E在线段AF上．
，
∴，
∴（不合题意，舍去）；
②当3＜t＜5时，点G在线段AM上，点E在线段AF上．
，，
∴，

∴，

综上所述当时，△DFE与△DMG全等；

（3）∵，

∴()，

∵，
∴
∵，
∴()，

∴()，

∵，，

∴ ．