Question

16．如图，D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上，$\frac{BD}{DC}$=$\frac{AF}{FB}$=$\frac{CE}{AE}$=λ，AD、BE、CF交成的三角形为LMN，求S_△LMN（用S_△ABC表示）

Answer 1

分析 作DK∥AC交BE于K，用λ表示出△ABD的面积与△ABC的面积的关系，根据平行线分线段成比例定理得到$\frac{DM}{MA}$，表示出△BMD的面积，计算即可得到答案．

解答 解：作DK∥AC交BE于K，
∵$\frac{BD}{DC}$=λ，∴$\frac{BD}{BC}$=$\frac{λ}{1+λ}$，
∴△ABD的面积=$\frac{λ}{1+λ}$×△ABC的面积，
∵DK∥AC，$\frac{BD}{BC}$=$\frac{λ}{1+λ}$，
∴$\frac{DK}{EC}$=$\frac{BD}{BC}$=$\frac{λ}{1+λ}$，又$\frac{CE}{AE}$=λ，
∴$\frac{DM}{MA}$=$\frac{DK}{AE}$=$\frac{{λ}^{2}}{1+λ}$，
∴△BMD的面积=$\frac{{λ}^{2}}{1+λ+{λ}^{2}}$×△ABD的面积=$\frac{{λ}^{3}}{（1+λ+{λ}^{2}）（1+λ）}$×△ABC的面积，
同理△AFL的面积=△CEN的面积=$\frac{{λ}^{3}}{（1+λ+{λ}^{2}）（1+λ）}$×△ABC的面积，
∴S_△LMN=（1+$\frac{3λ}{1+λ}$+$\frac{{3λ}^{3}}{（1+λ+{λ}^{2}）（1+λ）}$）S_△ABC．

点评 本题考查的是平行线分线段成比例定理和三角形的面积的计算，灵活运用定理、找准对应关系、掌握三角形的面积公式是解题的关键．