Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=-x²+bx+c经过A、B两点，并与x轴交于另一点C（点C在点A的右侧），点P是抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标
（2）若点P在第二象限内，如图2，过点P作PD⊥x轴于D，交AB于点E，当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时PE等于多少？
（3）如图3，如果平行于x轴的动直线a与抛物线交于点Q，与直线AB交于点N，点M为OA的中点，那么是否存在这样的直线a，使得△MON是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）先通过直线求得与坐标轴的交点，然后应用待定系数法即可求得抛物线的解析式，进而求得抛物线与x轴的交点．
（2）设出D的坐标（t，0），根据已知表示得E、P的坐标，根据PD⊥x轴即可求得解析式．
（3）有两种情况：①MN=ON，②MN=OM，分别讨论求得．

解答：解：（1）如图1，

∵直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A（-4，0），B（0，4），
∵抛物线y=-x²+bx+c经过A、B两点，
∴

-16-4b+c=0 c=4

，
解得

b=-3 c=4

，
∴抛物线的解析式为：y=-x²-3x+4，
令y=0，则-x²-3x+4=0，
解得x=-4，x=1，
∴C（1，0）；

（2）如图2，

设D（t，0），
∴E（t，t+4），P（t，-t²-3t+4），
∴PE=-t²-3t+4-t-4=-（t+2）²+4，
∴当t=-2时，线段PE有最大值是4，此时P（-2，6），

（3）如图3，存在；
点Q的坐标为（

-3+ 13

2

，3）或（

-3- 13

2

，3）或（

-3+ 17

2

，2）或（

-3- 17

2

，2）．


证明：有两种情况；
①当MN=ON时，
∵A（-4，0），
∵OA=4，
∵M是OA的中点
∴OM=2，
∵MN=ON，
∴N点的横坐标是-1，代入直线y=x+4，解得：y=3，
∵过N点的直线平行x轴，
∴把y=3代入抛物线的解析式y=-x²-3x+4，解得；x=

-3+ 13

2

或x=

-3- 13

2

；
②当MN=OM时，
∵A（-4，0），
∵OA=4，
∵M是OA的中点
∴OM=2，
∴MN=OM=2
∵OB=4，
∴MN=

1

2

OB，
∴MN∥OB，
∴MN⊥x轴，
把y=2代入抛物线的解析式y=-x²-3x+4，
解得x=

-3+ 17

2

或x=

-3- 17

2

．
∴点Q的坐标为（

-3+ 13

2

，3）或（

-3- 13

2

，3）或（

-3+ 17

2

，2）或（

-3- 17

2

，2）．

点评：本题考查了直线与坐标轴的交点，待定系数法求抛物线的解析式，函数的最值问题以及平行线的性质，分类讨论是解题的关键．