Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），C （4，0）两点，与y轴交于点B．

（1）求这条抛物线的顶点坐标；

（2）已知AD＝AB（点D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t（s）的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；

（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）这条抛物线的顶点坐标是（，）；（2）t＝；（3）存在，M（，）．

【解析】

（1）根据抛物线图像上的三点坐标，利用待定系数法即可解答；

（2）根据A、B的坐标，易求得AD=AB=5，则CD=AC-AD=2，连接DQ，由于BD垂直平分PQ，那么DP=DQ，根据等腰三角形三线合一的性质知：∠PDB=∠QDB=∠ABD，即AB//DQ，此时△CDQ∽△CAB，利用相似三角形得到的比例线段即可求得D Q、PD的长，从而求得AP的值，即可求得t的值；

（3）如图2，先作C关于对称轴的对称点，即点A；连接AQ与对称轴的交点就是所求的M，先求2的坐标，求直线42的解析式，因为对称轴是：x=，即M的横坐标就是，代入AQ的解析式求出y的值．

解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），C （4，0）两点，

∴．

解这个方程，得

∴该抛物线解析式是y＝﹣x2+x+4．

∵y＝﹣x2+x+4＝y＝﹣（x﹣）2+．

∴这条抛物线的顶点坐标是（，）；

（2）∵A（﹣3，0），C （4，0），

∴OA＝3，OB＝OC＝4，

则AB＝5，AC＝7，CD＝2；

如图1，连接DQ，由于BD垂直平分PQ，则DP＝DQ，得：

∠PDB＝∠QDB，

而AD＝AB，得：∠ABD＝∠ADB，

故∠QDB＝∠ABD，

得QD∥AB；

∴△CDQ∽△CAB，则有：＝＝，

∴＝．

∴PD＝DQ＝，AP＝AD﹣PD＝5﹣＝，

故t＝；

（3）存在，

如图2，连接AQ交对称轴于M，此时MQ+MC为最小，

过Q作QN⊥x轴于N，

∵DQ∥AB，

∴∠QDN＝∠BAC，

sin∠QDN＝sin∠BAC＝＝，

∴＝，

∴QN＝，

设直线BC的解析式为：y＝kx+b，

把B（0，4）和C（4，0）代入得：，

解得，

∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+4，

当y＝时，＝﹣x+4，

x＝，

∴Q（，），

同理可得：AQ的解析式为：y＝x+，

当x＝时，y＝×＝，

∴M（，）．