题目内容
如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标是（0，3），点A的坐标是（8，0），点B的坐标是（4，3），P、Q分别是x、y轴上的两个动点，点P从C出发，在线段CB上以1个单位/秒的速度向点B移动，点Q从A出发，在线段AO上以2个单位/秒的速度向点O 移动．设点P、Q同时出发，运动的时间为t（秒）（1）当t为何值时，PQ平分四边形OABC的面积？
（2）当t为何值时，PQ⊥OB？
（3）当t为何值时，PQ∥AB？
（4）当t为何值时，△OPQ是等腰三角形？
【答案】分析：（1）由A，B及C的坐标得出BC，OA及OC的长，利用梯形的面积公式求出梯形OABC的面积，当PQ平分四边形OABC面积时，梯形OCPQ面积为梯形OABC面积的一半，由CP=t，OQ=OA-AQ表示出OQ，利用梯形的面积公式列出关于t的方程，求出方程的解即可得到满足题意t的值；
（2）当PQ垂直于OB时，过P作PM垂直于OA于M点，易得三角形OBC与三角形PMQ相似，由相似得比例，将各自的值代入得到关于t的方程，求出方程的解即可得到满足题意t的值；
（3）当PQ平行于AB时，由PB与AQ平行，利用两组对边分别平行的四边形为平行四边形得到ABPQ为平行四边形，可得出PB=AQ，由PB=BC-CQ表示出PB，列出关于t的方程，求出方程的解即可得到满足题意的t的值；
（4）分三种情况考虑：当OP=PQ时；当OQ=PQ时；当OP=OQ时，分别列出关于t的方程，即可得到所有满足题意t的值．
解答：解：（1）由题意可知BC∥OA，BC=4，OA=8，OC=3，
则S梯形OABC的面积=
×（4+8）×3=18，
当PQ平分梯形OABC的面积时，S梯形CPQO的面积=
×（t+8-2t）×3=9，
解得：t=2，
则当t=2时，PQ平分四边形OABC的面积；
（2）当PQ⊥OB时，作PM⊥OA于点M，
∵∠BPM=∠PEB=90°，∠PNE=∠BNP，
∴△PNE∽△BNP，
∴∠NPE=∠NBP，又∠PMQ=∠BCO=90°，
∴△PMQ∽△BCO，
∴
=
，
又∵PM=CO=3，BC=4，MQ=OA-OM-AQ=OA-CP-AQ=8-t-2t=8-3t，
∴
=
，
解得：t=
，
则当t=
时，PQ⊥OB；
（3）∵当PQ∥AB时，由PB∥AQ，得到四边形ABPQ为平行四边形，
∴BP=AQ，
又∵BP=BC-CP=4-t，AQ=2t，
∴4-t=2t，
解得：t=
，
则当t=
时，PQ∥AB；
（4）分三种情况考虑：
（i）当OP=PQ时，作PF⊥OA于F，可得OF=FQ，
又∵OF=CP=t，FQ=OA-OF-AQ=8-t-2t=8-3t，
即t=8-3t，
解得：t=2；
（ii）当OP=OQ时，OQ=8-2t，
在Rt△CPO中，根据勾股定理得：OP2=OC2+CP2=32+t2，
则32+t2=（8-2t）2，
解得：t1=
（不合题意，舍去），t2=
，
故t=
；
（iii）当QO=QP时，OQ=8-2t，PF=OC=3，FQ=8-3t，
∵在Rt△PQF中，根据勾股定理得：QP2=PF2+FQ2=32+（8-3t）2，
∴32+（8-3t）2=（8-2t）2，
解得t1=
，t2=
，
综上所述，当t=2或t=
或t=
或t=
时，△OPQ是等腰三角形．
点评：此题属于相似形综合题，涉及的知识有：平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及坐标与图形性质，利用了数形结合及分类讨论的数学思想，是一道综合性较强的题．
（2）当PQ垂直于OB时，过P作PM垂直于OA于M点，易得三角形OBC与三角形PMQ相似，由相似得比例，将各自的值代入得到关于t的方程，求出方程的解即可得到满足题意t的值；
（3）当PQ平行于AB时，由PB与AQ平行，利用两组对边分别平行的四边形为平行四边形得到ABPQ为平行四边形，可得出PB=AQ，由PB=BC-CQ表示出PB，列出关于t的方程，求出方程的解即可得到满足题意的t的值；
（4）分三种情况考虑：当OP=PQ时；当OQ=PQ时；当OP=OQ时，分别列出关于t的方程，即可得到所有满足题意t的值．
解答：解：（1）由题意可知BC∥OA，BC=4，OA=8，OC=3，
则S梯形OABC的面积=
×（4+8）×3=18，当PQ平分梯形OABC的面积时，S梯形CPQO的面积=
×（t+8-2t）×3=9，解得：t=2，
则当t=2时，PQ平分四边形OABC的面积；
（2）当PQ⊥OB时，作PM⊥OA于点M，
∵∠BPM=∠PEB=90°，∠PNE=∠BNP，
∴△PNE∽△BNP，
∴∠NPE=∠NBP，又∠PMQ=∠BCO=90°，
∴△PMQ∽△BCO，
∴
=，又∵PM=CO=3，BC=4，MQ=OA-OM-AQ=OA-CP-AQ=8-t-2t=8-3t，
∴
=，解得：t=
，则当t=
时，PQ⊥OB；（3）∵当PQ∥AB时，由PB∥AQ，得到四边形ABPQ为平行四边形，
∴BP=AQ，
又∵BP=BC-CP=4-t，AQ=2t，
∴4-t=2t，
解得：t=
，则当t=
时，PQ∥AB；（4）分三种情况考虑：
（i）当OP=PQ时，作PF⊥OA于F，可得OF=FQ，
又∵OF=CP=t，FQ=OA-OF-AQ=8-t-2t=8-3t，
即t=8-3t，
解得：t=2；
（ii）当OP=OQ时，OQ=8-2t，
在Rt△CPO中，根据勾股定理得：OP2=OC2+CP2=32+t2，
则32+t2=（8-2t）2，
解得：t1=
（不合题意，舍去），t2=，故t=
；（iii）当QO=QP时，OQ=8-2t，PF=OC=3，FQ=8-3t，
∵在Rt△PQF中，根据勾股定理得：QP2=PF2+FQ2=32+（8-3t）2，
∴32+（8-3t）2=（8-2t）2，
解得t1=
，t2=，综上所述，当t=2或t=
或t=或t=时，△OPQ是等腰三角形．点评：此题属于相似形综合题，涉及的知识有：平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及坐标与图形性质，利用了数形结合及分类讨论的数学思想，是一道综合性较强的题．
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