Question

如图，Rt△ABC中，AB＞AC，在斜边BC上有一点D，BD=BA，过D作直线DE交AB于E，且DE平分△ABC的面积．
求证：EB=ED=

1

2

BC．

Answer 1

分析：可过E作EF⊥BD于F，由DE平分△ABC的面积，可得出EF=

1

2

AC，进而得出△BEF∽△BCA，再由相似三角形对应边成比例，进而即可求解．

解答：证明：如图，过E作EF⊥BD于F，
则S△BDE=

1

2

BD•EF，
又∵S△ABC=

1

2

AB•AC，
AB=BD，S△BDE=

1

2

S△ABC，
∴EF=

1

2

AC
显然△BEF∽△BCA，
∴

BE

BC

=

EF

AC

=

1

2

，
即BE=

1

2

BC，
同理，BF=

1

2

AB=

1

2

BD，
∴EF垂直平分BD，
∴EF=ED=

1

2

BC．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定及性质以及三角形的面积问题，能够运用其性质进行一些简单的证明、计算问题．