Question

如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DB=AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF．

（1）当∠AOB=30°时，求弧AB的长度；

（2）当DE=8时，求线段EF的长；

（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此

时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

（1）连结BC,

∵A（10，0）, ∴OA=10 ,CA=5,

∵∠AOB=30°,

∴∠ACB=2∠AOB=60°,

∴弧AB的长=;    ……4分

（2）连结OD,

∵OA是⊙C直径,  ∴∠OBA=90°,

又∵AB=BD,

∴OB是AD的垂直平分线,

∴OD=OA=10,

在Rt△ODE中，

OE=,

∴AE=AO－OE=10-6=4,

由 ∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB，∠OEF=∠DEA，

得△OEF∽△DEA,

∴,即，∴EF=3；

（3）设OE=x，

①当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角

形与△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，

当∠ECF=∠BOA时，此时△OCF为等腰三角形，点E为OC

中点，即OE=，

∴E₁（，0）；

当∠ECF=∠OAB时，有CE=5-x, AE=10-x，

∴CF∥AB,有CF=,

∵△ECF∽△EAD,

∴,即,解得：,

∴E₂（，0）;

②当交点E在点C的右侧时，

∵∠ECF＞∠BOA，

∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，

连结BE，

∵BE为Rt△ADE斜边上的中线，

∴BE=AB=BD,

∴∠BEA=∠BAO,

∴∠BEA=∠ECF,

∴CF∥BE,   ∴,

∵∠ECF=∠BAO, ∠FEC=∠DEA=Rt∠，

∴△CEF∽△AED,  ∴,

而AD=2BE,     ∴,

即,  解得, ＜0（舍去），

∴E₃（，0）;

③当交点E在点O的左侧时，

∵∠BOA=∠EOF＞∠ECF .

∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO

连结BE，得BE==AB，∠BEA=∠BAO

∴∠ECF=∠BEA,

∴CF∥BE,

∴,

又∵∠ECF=∠BAO, ∠FEC=∠DEA=Rt∠，

∴△CEF∽△AED,  ∴，

而AD=2BE,     ∴,

∴,    解得, ＜0（舍去）,

∵点E在x轴负半轴上,  ∴E₄（，0）,

综上所述：存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,此时点E坐标为：

（，0）、（，0）、（，0）、（，0）．