Question

如图，AB和CD是⊙O的弦，且AB=CD，E、F分别为弦AB、CD的中点，证明：OE=OF．

Answer 1

考点：垂径定理

专题：证明题

分析：根据平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧得到OE⊥AB，AE=BE，OF⊥CD，CF=DF，由于AB=CD，则AE=CF，然后根据“HL”可判断Rt△AEO≌Rt△COF，于是得到OE=OF．

解答：证明：连结OA、OC，如图，
∵E、F分别为弦AB、CD的中点，
∴OE⊥AB，AE=BE，OF⊥CD，CF=DF，
∵AB=CD，
∴AE=CF，
在Rt△AEO和Rt△COF中，

AE=CF AO=CO

，
∴Rt△AEO≌Rt△COF（HL），
∴OE=OF．

点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了全等三角形的判定与性质．