题目内容
5．
如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx的顶点为D（1，-1），且与x轴交于O，A两点，二次函数y=ax2+bx的图象记作G1，把G1向右平移m（m＞0）个单位得到的图象记作G2，G2与x轴交于B，C两点，且G2与G1相交于点P．（1）①求a，b的值；
②求G2的函数表达式（用含m的式子表示）；
（2）若△PBC的面积记作S，求S与m的关系式；
（3）是否存在△PBC的面积是△DAB的面积的3倍？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．
分析 （1）①直接根据顶点为D（1，-1）求出a、b的值即可；
②先把抛物线G1化为顶点式的形式，再由图形平移的性质即可得出结论；
（2）先用M表示出P点坐标，再分m＜2与m＞2两种情况进行讨论；
（3）根据m＜2与m＞2得出△DAB面积的表达式，进而可得出结论．
解答 解：（1）①∵二次函数y=ax2+bx（a≠0）的顶点为（1，-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}-\frac{b}{2a}=1\\ a+b=-1\end{array}\right.$
∴a=1，b=-2．
②由（1）得G1的解析式为y=x2-2x，即y=（x-1）2-1，
∵G2是把G1向右平移m（m＞0）个单位得到的，
∴G2的解析式为y=（x-1-m）2-1．
（2）∵G2是G1向右平移m（m＞0）个单位得到的，A（2，0），
∴点P的横坐标为$\frac{m+2}{2}$，
∵G2与G1相交于点P，
∴点P坐标为（$\frac{m+2}{2}$，$\frac{1}{4}$m2-1）；
①如图1，
当m＜2时，
∵S△PBC=$\frac{1}{2}$×2×（1-$\frac{1}{4}$m2），
∴S=-$\frac{1}{4}$m2+1（m＜2）；
②如图2，当m＞2时，
S△PBC=$\frac{1}{2}$×2×（$\frac{1}{4}$m2-1），
∴S=-$\frac{1}{4}$m2-1（m＞2）；
（3）当m＜2时，
∵A（2，0），B（m，0），
∴AB=2-m，
∵D（1，-1），
∴S△DAB=$\frac{1}{2}$×1×（2-m），
∵△PBC的面积是△DAB的面积的3倍，
∴-$\frac{1}{4}$m2+1=$\frac{3}{2}$（2-m），整理得4m2-6m+8=0，此方程无解，故此种情况不存在；
当m＞2时，AM=m-2，
∵△PBC的面积是△DAB的面积的3倍，
∴-$\frac{1}{4}$m2-1=3×$\frac{1}{2}$×（m-2），解得m=2（舍去）或m=4，
∴m=4．
点评 本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数平移的性质及三角形的面积公式等知识，在解答（2）、（3）时要注意进行分类讨论．
同步练习强化拓展系列答案
| A． | 20人 | B． | 15人 | C． | 10人 | D． | 9人 |
| A． | 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 | |
| B． | 对角线相等的平行四边形是矩形 | |
| C． | 一组邻边相等的平行四边形是菱形 | |
| D． | 有一个角是直角的平行四边形是正方形 |
如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．