题目内容

如图，在平面直角坐标系中，△OAB是等腰三角形，BO=BA=5，OA=6，OH⊥AB于点H，点P从点H出发，沿线段HO向点O运动，点Q从点O出发，沿y轴正半轴方向运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，点P运动到O即停止，设运动时间为t秒．
（1）求点B坐标和OH的长；
（2）设△OPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求t为何值时，△OPQ的面积最大，最大值是多少？
（3）当△OPQ为等腰三角形时，求运动时间t的值．

解：（1）如图，过B作BC⊥OA，
∵BO=BA=5，OA=6，
∴OC=AC=3，
∴BC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =4，
所以B（3，4），
S_△ABO= $\text{[math]}$ ×OA×BC= $\text{[math]}$ ×AB×OH，
即 $\text{[math]}$ ×6×4= $\text{[math]}$ ×5×OH，
解得OH= $\text{[math]}$ ．

（2）过点P作PD⊥OQ，则DP∥OA，
∴∠DPO=∠HOA，
又∵∠PDO=∠OHA=90°，
∴△POD∽△OAH，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
整理的PD= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ t，
∴S= $\text{[math]}$ OQ×PD= $\text{[math]}$ t（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ t）=- $\text{[math]}$ （t- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ，
∴S与t之间的函数关系式为：S=- $\text{[math]}$ （t- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ，
当t= $\text{[math]}$ 时，△OPQ的面积最大，最大面积是 $\text{[math]}$ ．

（3）分三种情况讨论，①当OQ=PO时，t= $\text{[math]}$ -t，
解得t= $\text{[math]}$ ，
②当OQ=PQ时，

∵∠QOP=∠QPO=∠OAB=∠BOA，
∴△QOP∽△BOA，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得t= $\text{[math]}$ ．
③当PQ=OP时，OQ=t，OP= $\text{[math]}$ -t，
∵PD⊥y轴，
∴OD= $\text{[math]}$ ，
在Rt△ODP中，
OP²=DP²+OD²，即（ $\text{[math]}$ -t）²=（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ t）²+（ $\text{[math]}$ ）²，
解得t= $\text{[math]}$ 秒，
∴当△OPQ为等腰三角形时，运动时间t的值是 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 秒．
分析：（1）过B作BC⊥OA，根据三角形三线合一的性质可得OC=AC=3，然后利用勾股定理求出BC的长度，确定出B的坐标，再根据三角形的面积即可求出OH的长；
（2）过点P作PD⊥OQ，证明△POD与△OAH相似，再根据相似三角形对应边成比例求出PD的长度，再利用三角形的面积公式即可表示出S于t之间的函数关系式，然后整理成顶点式即可进行解答；
（3）分三种情况讨论，①当OQ=PO时，是等腰三角形，此时直接列式求解即可；②当OQ=PQ时，是等腰三角形，此时△QOP与△BOA相似，③当PQ=OP时，根据相似三角形的对应边成比例列式求解即可．
点评：本题考查了二次函数的最值问题，相似三角形的判定与性质，点的坐标以及解直角三角形，综合性较强，并且运算量比较大，希望同学们能够认真计算仔细求解．