Question

如图，已知PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C三点，若PO=13cm，△PDE的周长为24cm，∠APB=40°，求：
（1）⊙O的半径； 
（2）∠EOD的度数．

Answer 1

分析：（1）首先连接OB，由PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C三点，根据切线的性质与切线长定理，即可证得OB⊥PB，PB=PA，BD=CD，CE=AE，又由△PDE的周长为24cm，即可求得PB的长，然后利用勾股定理，求得⊙O的半径；
（2）首先连接OB，OA，由PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C三点，根据切线的性质与切线长定理，即可得OB⊥PB，OA⊥PA，∠BOD=∠COD=

1

2

∠BOC，∠COE=∠AOE=

1

2

∠AOC，继而求得答案．

解答：解：（1）连接OB，
∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C三点，
∴OB⊥PB，PB=PA，BD=CD，CE=AE，
∴△PDE的周长为：PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PD+BD+AE+PE=PB+PA=2PB=24cm，
∴PB=PA=12cm，
在Rt△PBO中，OB=

OP2-PB2

=

132-122

=5（cm），
即⊙O的半径为5cm；

（2）连接OB，OA，
∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C三点，
∴OB⊥PB，OA⊥PA，∠BOD=∠COD=

1

2

∠BOC，∠COE=∠AOE=

1

2

∠AOC，
∵∠APB=40°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-40°=140°，
∴∠DOE=∠COD+∠COE=

1

2

（∠BOC+∠AOC）=

1

2

∠BOC=70°．

点评：此题考查了切线的性质、切线长定理以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．