题目内容
已知直线y=-
x+2分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一个动点P由原点O向点A运动（与点A不重合），速度为每秒1个单位，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，以点C为顶点的抛物线y=-4（x+m）2+n与直线AB的另一交点为D，与x
轴交于点E（点E在抛物线对称轴的右侧）．设点P运动时间为t秒．
（1）直接写出点A的坐标，并求t=1时抛物线的解析式；
（2）当t为何值时，以C，P，E为顶点的三角形与AOB相似？
（3）①求CD的长；
②设△COD的OC边长的高为h，当t为何值时，h的值最大？
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轴交于点E（点E在抛物线对称轴的右侧）．设点P运动时间为t秒．（1）直接写出点A的坐标，并求t=1时抛物线的解析式；
（2）当t为何值时，以C，P，E为顶点的三角形与AOB相似？
（3）①求CD的长；
②设△COD的OC边长的高为h，当t为何值时，h的值最大？
分析：（1）令y=0，求出x的值即可得到点A的坐标，求出t=1时的x、y的值，得到点C的坐标，然后代入抛物线解析式即可得解；
（2）根据直线的解析式求出点B的坐标，然后求出OA、OB的长，再求出OP的长，然后根据直线解析式求出PC的长，从而得到点C的坐标，然后表示出抛物线解析式，再分①PE与OA是对应边时，点E、A重合，然后把点A的坐标代入抛物线求解即可得到t的值；②PE与OB是对应边时，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求出PE的长，然后得到点E的坐标，再把点E的坐标代入抛物线解析式求解即可得到t的值；
（3）①联立抛物线与直线解析式求出点D的横坐标，再过点D作DH⊥PC于H，从而求出DH的长，再根据△DCH和△ABO相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可得到CD的长；
②过点O作OF⊥AB于F，过点F作FG⊥x轴于点G，根据勾股定理列式求出AB，再根据△AOB的面积求出OF的长，然后根据CD的长度不变，是定值可知OC的长度最小时，OC边上的高h最大，此时OF、OC重合，然后根据△OFG和△BAO相似，再根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．
（2）根据直线的解析式求出点B的坐标，然后求出OA、OB的长，再求出OP的长，然后根据直线解析式求出PC的长，从而得到点C的坐标，然后表示出抛物线解析式，再分①PE与OA是对应边时，点E、A重合，然后把点A的坐标代入抛物线求解即可得到t的值；②PE与OB是对应边时，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求出PE的长，然后得到点E的坐标，再把点E的坐标代入抛物线解析式求解即可得到t的值；
（3）①联立抛物线与直线解析式求出点D的横坐标，再过点D作DH⊥PC于H，从而求出DH的长，再根据△DCH和△ABO相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可得到CD的长；
②过点O作OF⊥AB于F，过点F作FG⊥x轴于点G，根据勾股定理列式求出AB，再根据△AOB的面积求出OF的长，然后根据CD的长度不变，是定值可知OC的长度最小时，OC边上的高h最大，此时OF、OC重合，然后根据△OFG和△BAO相似，再根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．
解答：解：（1）令y=0，则-
x+2=0，解得x=4，
所以，点A（4，0），
∵点P的运动速度是每秒1个单位，
∴t=1时，x=1，y=-
+2=
，
∴点C的坐标为（1，
），
∴抛物线解析式为y=-4（x-1）2+
；
（2）令x=0，则y=2，
所以，点B的坐标为（0，2），
∴OA=4，OB=2，
∵OP=t，
∴PC=-
t+2，
∴C（t，-
t+2），
∴y=-4（x-t）2-
t+2，
①PE与OA是对应边时，此时点E与点A重合，
∴-4（4-t）2-
t+2=0，
整理得，（t-4）（4t-16+
）=0，
解得t1=4（为点C，舍去），t2=
，
②PE与OB是对应边时，∵△PCE∽△OAB，
∴
=
，
即
=
，
解得PE=-
t+1，
∴OE=t-
t+1=
t+1，点E的坐标为（
t+1，0），
∵点E在抛物线上，
∴-4（
t+1-t）2-
t+2=0，
整理得，（t-4）（t-2）=0，
解得t1=4（为点C，舍去），t2=2，
综上所述，当t=2或t=
时，以C，P，E为顶点的三角形与AOB相似；
（3）①联立
消掉y得，-4（x-t）2-
t+2=-
x+2，
整理得，（x-t）（-4x+4t+
）=0，
解得x1=t，x2=t+
，
则点D的横坐标为t+
，过点D作DH⊥PC于H，则DH=
，
∵PC⊥x轴，DH⊥PC，
∴△DCH∽△ABO，
∴
=
，
∵OA=4，OB=2，
∴AB=
=
=2
，
∴
=
，
解得CD=
；
②过点O作OF⊥AB于F，过点F作FG⊥x轴于点G，
∵不论点P在何处，CD的长不变，
∴△ODC的面积也不变，
当OC长最小时，OC边上的高h最大，
∵S△AOB=
×2
•OF=
×2×4，
∴OC=OF=
，
∵△OFG∽△BAO，
∴
=
，
即
=
，
解得OG=
，
即t=
时，h的值最大．
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所以，点A（4，0），
∵点P的运动速度是每秒1个单位，
∴t=1时，x=1，y=-
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| 2 |
∴点C的坐标为（1，
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| 2 |
∴抛物线解析式为y=-4（x-1）2+
| 3 |
| 2 |
（2）令x=0，则y=2，
所以，点B的坐标为（0，2），
∴OA=4，OB=2，
∵OP=t，
∴PC=-
| 1 |
| 2 |
∴C（t，-
| 1 |
| 2 |
∴y=-4（x-t）2-
| 1 |
| 2 |
①PE与OA是对应边时，此时点E与点A重合，
∴-4（4-t）2-
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整理得，（t-4）（4t-16+
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解得t1=4（为点C，舍去），t2=
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②PE与OB是对应边时，∵△PCE∽△OAB，
∴
| PE |
| OB |
| CP |
| OA |
即
| PE |
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-
| ||
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解得PE=-
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| 4 |
∴OE=t-
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| 3 |
| 4 |
∵点E在抛物线上，
∴-4（
| 3 |
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整理得，（t-4）（t-2）=0，
解得t1=4（为点C，舍去），t2=2，
综上所述，当t=2或t=
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（3）①联立
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整理得，（x-t）（-4x+4t+
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解得x1=t，x2=t+
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则点D的横坐标为t+
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∵PC⊥x轴，DH⊥PC，
∴△DCH∽△ABO，
∴
| CD |
| AB |
| HD |
| AO |
∵OA=4，OB=2，
∴AB=
| OA2+OB2 |
| 42+22 |
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∴
| CD | ||
2
|
| ||
| 4 |
解得CD=
| ||
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②过点O作OF⊥AB于F，过点F作FG⊥x轴于点G，
∵不论点P在何处，CD的长不变，
∴△ODC的面积也不变，
当OC长最小时，OC边上的高h最大，
∵S△AOB=
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∴OC=OF=
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| ||
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∵△OFG∽△BAO，
∴
| OG |
| OB |
| OF |
| AB |
即
| OG |
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| ||||
2
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解得OG=
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| 5 |
即t=
| 4 |
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点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了直线与坐标轴的交点的求解，相似三角形对应边成比例的性质，勾股定理，利用等积法求三角形的高，综合性较强，难度较大，（2）要分情况讨论，（3）作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
练习册系列答案
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已知直线
E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．
（2013•梧州模拟）如图，已知直线y=