Question

在正方形ABCD中，点E在BC边所在直线上，过E作EF⊥AC于F，G为线段AE的中点，连接BF、FG、GB。

证明：△BGF是等腰直角三角形。

Answer 1

（1）如图1，若点E在BC边上，

∵EF⊥AC于点F，∴∠AFE=90°。

∵在Rt△AEF中，G为斜边AE的中点，∴。

在Rt△ABE中，同理可得。

∴GF=GB。∴△BGF为等腰三角形。

又∵AG=BG，AG=FG，∴∠BGE=2∠BAG，∠EGF=2∠GAF。

又∵∠BAC=45°，∴∠BGF=∠BGE∠EGF=2（∠BAG∠GAF）=2∠BAC=90°。

∴△BGF为等腰直角三角形。

（3）如图3，若点E在CB的延长线上，

同（1）可证△BGF为等腰三角形，

∵AG=BG，AG=FG，∴∠BGE=2∠BAG，∠EGF=2∠GAF。

又∵∠BAC=45°，∴∠BGF=∠EGF ∠BGE =2（∠GAF ∠BAG）=2∠BAC=90°。

∴△BGF为等腰直角三角形。

综上所述，△BGF是等腰直角三角形。

【考点】等腰直角三角形的判定，正方形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，三角形外角性质。

【分析】分点E在BC边上，在BC的延长线上，点E在CB的延长线上三种情况证明即可。