Question

19．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点E是边CD上任意一点（点E与点C、D不重合），过点A作AF⊥AE，交边CB的延长线于点F，连接EF交边AB于点G．
（1）求证：BF=2DE；
（2）若FE平分∠AFB，连接CG，求证：四边形AGCE为菱形；
（3）当点E在边CD上移动时，△AEG能否成为等腰三角形？如果能，请直接写出线段DE的长；如果不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意和相似三角形的判定定理证明△ABF∽△ADE，根据相似三角形的性质证明即可；
（2）证明△AFE≌△CFE，得到FA=FC，得到△AFG和△CFG，得到四边形AGCE为平行四边形，又EA=EC，根据菱形的判定定理证明结论；
（3）分AG=AE，GA=GE，EA=EG三种情况，根据全等三角形的性质、相似三角形的性质计算即可．

解答 （1）证明：∵AF⊥AE，
∴∠FAB+∠GAE=90°，又∠DAE+∠GAE=90°，
∴∠FAB=∠DAE，又∠ABF=∠ADE=90°，
∴△ABF∽△ADE，
∴$\frac{BF}{DE}$=$\frac{AB}{AD}$=2，
∴BF=2DE；
（2）证明：∵FE平分∠AFB，AF⊥AE，∠ECF=90°，
∴EA=EC，
在△AFE和△CFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠CFE}\\{∠FAE=∠FCE}\\{FE=FE}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△CFE，
∴FA=FC，
∴△AFG和△CFG，
∴∠FAG=∠FCG，
∴∠DAE=∠FCG，
∴∠AED=∠GCD，
∴AE∥GC，又AG∥EC，
∴四边形AGCE为平行四边形，又EA=EC，
∴四边形AGCE为菱形；
（3）解：当四边形AGCE为菱形时，AG=AE，
设DE为x，则
（4-x）²=2²+x²，
解得x=$\frac{3}{2}$；
当GA=GE时，∠GAE=∠GEA，
∴∠GAF=∠GFA，
∴GA=GF，
即G为FE的中点，
则FB=BC=2，
∴DE=$\frac{1}{2}$FB=1；
当EA=EG时，
∠EAG=∠EGA，
∴∠FAB=∠GFB，
∴△FAB∽△GFB，
∴BF²=BG•BA，
设DE=y，则AG=2y，GB=4-2y，FB=2y，
4y²=（4-2y）×4，
解得y=$\sqrt{5}$-1．
则DE=$\sqrt{5}$-1．

点评 本题考查的是矩形的性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，灵活运用性质和定理、运用方程思想和分情况讨论思想是解题的关键．