Question

【题目】如图 1，在矩形 ABCD 中，点 E 以 lcm/s 的速度从点 A 向点 D 运动，运动时间为 t（s），连结 BE，过点 E 作 EF⊥BE，交 CD 于 F，以 EF 为直径作⊙O．

（1）求证：∠1＝∠2；

（2）如图 2，连结 BF，交⊙O 于点 G，并连结 EG．已知 AB＝4，AD＝6．

①用含 t 的代数式表示 DF 的长

②连结 DG，若△EGD 是以 EG 为腰的等腰三角形，求 t 的值；

（3）连结 OC，当 tan∠BFC＝3 时，恰有 OC∥EG，请直接写出 tan∠ABE 的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①，②若△EGD 是以 EG 为腰的等腰三角形，t 的值为 3 或 ；（3）tan∠ABE＝1.

【解析】

（1）根据矩形的性质得到AD∥BC，∠A=∠ADC=90°，根据余角的性质即可得到结论；

（2）①根据相似三角形的性质即可得到结论；

②当EG=ED时，根据相似三角形的性质得到结论；当GE=GD时，根据全等三角形的性质和勾股定理即可得到结论；

（3）如图2，过O作OH⊥CD于H，设CF=a，BC=3a，得到DE=3a-t，根据三角形的中位线的性质得到OH=DE=，根据三角函数的定义得到DF=7a-3t，AB=8a-3t，根据相似三角形的性质即可得到结论．

（1）∵四边形 ABCD 是矩形，

∴AD∥BC，∠A＝∠ADC＝90°，

∴∠AEB＝∠1，

∵EF⊥BE，

∴∠AEB+∠DEF＝90°，

∵∠2+∠DEF＝90°，

∴∠AEB＝∠2，

∴∠1＝∠2；

（2）①∵∠A＝∠ADC＝90°，∠AEB＝∠EFD，

∴△ABE∽△DEF，

∴，

∵AB＝4，AE＝t，DE＝6﹣t，

∴，

∴，

②当 EG＝ED 时，

∴∠EGD＝∠EDG，

∵∠EGD＝∠EFD，∠EDG＝∠EFG，

∴∠EFD＝∠EFG＝∠AEB，

∵∠A＝∠EDF＝∠BEF，

∴△BAE∽△EDF∽△BEF，

∴＝＝，

∴AE＝DE，

∴t＝6﹣t，

∴t＝3；

当 GE＝GD 时，∴∠GED＝∠GDE，

∵∠EDG＝∠BFE，∠GED＝∠BFC，

∴∠BFE＝∠BFC，

∵∠BEF＝∠C＝90°，BF＝BF，

∴△BEF≌△BCF（AAS），

∴BE＝BC＝6，

∵AB2+AE2＝BE2，

∴42+t2＝62，

∴t＝2；

综上所述，若△EGD 是以 EG 为腰的等腰三角形，t 的值为 3 或 ；

（3）tan∠ABE＝1，

理由：如图 2，过 O 作 OH⊥CD 于 H，

∵tan∠BFC＝＝3，

设 CF＝a，BC＝3a，

∵AE＝t，

∴DE＝3a﹣t，

∵OH⊥CD，AD⊥CD，

∴OH∥DE，

∵OF＝OE，

∴OH＝DE＝，

∵OC∥EG，EG⊥FG，

∴OC⊥FG，

∴tan∠COH＝tan∠BFC＝3，

∴CH＝3OH＝，FH＝，

∴DF＝7a﹣3t，AB＝8a﹣3t，

由△ABE∽△DEF，得 ， ，

解得t1=2a，t2=a，

当t=a时，8a-3t<0，不合题意，舍去；

当t=2a时，

∴tan∠ABE＝＝＝＝1．