题目内容
在直角坐标系xOy中，已知点P是反比例函数
（x>0）图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A.
（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由.
（2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B，C.当四边形ABCP是菱形时：①求出点A，B，C的坐标；②反比例函数（x>0）图象上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的
，若存在，直接写出所有满足条件的M点的坐标；若不存在，试说明理由.
详见解析
【解析】
试题分析：（1）由⊙
始终与
轴相切，得
，由⊙始终与轴相切于点
，得
，易得出四边形
是矩形，再有圆的两半径
，可得四边形是正方形.
①由四边形
是菱形可得：
，求
三点的坐标，只要求出菱形的边长即圆的半径，问题就迎刃而解了.可设点的坐标为
，过点作
，则
，
，由勾股定理得
，即
，解方程求出的值，在利用点的坐标求出求三点的坐标.
②、如下图，根据（2）①可求菱形的面积的
，即
.由于点
是两定点，若
上存在点
使
，那么无论点在何位置都是与
同底等高的三角形，由图可以看出有两种情况：即点分别位于的左、右两侧时，与
的面积相等。因此可以过点
分别作的平行线，该平行线与双曲线的交点即点的位置，由于先利用待定系数法求出直线的解析式，再求直线
的解析式，最后用双曲线与直线的解析式构建方程组求解点的坐标.
试题解析：（1）解：四边形
为正方形
∵⊙与轴相切
∴
∵
与轴相切与于点
∴
∵
∴四边形是矩形
∵
∴四边形是菱形
∴四边形是正方形.
①解：∵四边形是菱形
∴
∴
和
是等边三角形
∴
过点作,设点P的坐标为
,则
∵在
中，
∴
解得：
∴
∴
∵点在第一象限
∴
∴
，
，
∴
，
∴点的坐标为
②存在点使
的面积等于菱形面积的
，
点的坐标是
或
.
考点：1、正方形的判定.2、菱形的性质.3、平面直角坐标系中的动点问题.
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析式为y=x2-mx+n．方程x2-mx+n=0的两根倒数和为-4．