Question

【题目】如图，直线OA与反比例函数的图象交于点A（3，3），向下平移直线OA，与反比例函数的图象交于点B（6，m）与y轴交于点C，

（1）求直线BC的解析式；

（2）求经过A、B、C三点的二次函数的解析式；

（3）设经过A、B、C三点的二次函数图象的顶点为D，对称轴与x轴的交点为E．

问：在二次函数的对称轴上是否存在一点P，使以O、E、P为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，点P的坐标为（4，），（4，），（4，12），（4，﹣12）．

【解析】

（1）根据点A的坐标，即可确定直线OA以及反比例函数的解析式，根据所得反比例函数解析式即可确定点B的坐标，而OA、BC平行，那么它们的斜率相同，由此可确定直线BC的解析式；

（2）根据直线BC的解析式可求得C点坐标，然后可利用待定系数法求得该抛物线的解析式；

（3）根据（2）所得抛物线的解析式，可求得顶点D的坐标，即可得到BD、BC、CD的长，利用勾股定理逆定理即可判定△BCD是直角三角形，且∠BDC＝90°，根据抛物线对称轴方程可得到E点坐标，进而可求得OE的长，若以O、E、P为顶点的三角形与△BCD相似，已知∠BDC＝∠PEO＝90°，那么有两种情况需要考虑：①△PEO∽△BDC，②△OEP∽△BDC．根据上面两组不同的相似三角形所得不同的比例线段，即可得到PE的长，进而求出P点的坐标．（需要注意的是P点可能在E点上方也可能在E点下方）

解：（1）由直线OA与反比例函数的图象交于点A（3，3），

得直线OA为：y＝x，双曲线为：，

点B（6，m）代入得，点B（6，），

设直线BC的解析式为y＝x+b，由直线BC经过点B，

将x＝6，，代入y＝x+b得：，

所以，直线BC的解析式为；

（2）由直线得点C（0，），

设经过A、B、C三点的二次函数的解析式为

将A、B两点的坐标代入，得：

，

解得

所以，抛物线的解析式为；

（3）存在．

把配方得，

所以得点D（4，），对称轴为直线x＝4

得对称轴与x轴交点的坐标为E（4，0）．

由BD＝，BC＝，CD＝，得CD2＝BC2+BD2，所以，∠DBC＝90°

又∠PEO＝90°，若以O、E、P为顶点的三角形与△BCD相似，则有：

①，即，得，有P1（4，），P2（4，）

②，即，得PE＝12，有P3（4，12），P4（4，﹣12）

所以，点P的坐标为（4，），（4，），（4，12），（4，﹣12）．