Question

11．如图，水平放置的圆形管道横截面圆半径为50cm，现在水面宽度AB为60cm，当水面宽度为80cm时，则水面比原来上涨的高度为10cm或70cm．

Answer 1

分析 作OD⊥AB于D，延长OD交圆于点C，连结OB，利用垂径定理得到D为AB的中点，求出BD的长，在直角三角形BOD中，利用勾股定理求出OD，同理求出水面宽度为80cm时水面的高度，然后相减即可．

解答 解：如图，作OD⊥AB于D，延长OD交圆于点C，连结OB，
则D为AB的中点，即AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=30cm，
在Rt△BOD中，根据勾股定理得：OD²=OB²-BD²=50²-30²=1600，
所以OD=40，
当水面宽度为80cm时，分两种情况：
①如果A′B′=80cm，连结OB′，设OC与A′B′交于点E，
则E为A′B′的中点，即A′E=B′E=$\frac{1}{2}$A′B′=40cm，
在Rt△B′OE中，根据勾股定理得：OE²=OB^′2-B′E²=50²-40²=900，
所以OE=30，
则水面比原来上涨的高度为40-30=10（cm）；
②如果A″B″=80cm，同理求出水面比原来上涨的高度为40+30=70（cm）；
故答案为10cm或70cm．

点评 此题考查了垂径定理的应用，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．