Question

【题目】如图1，抛物线：交轴于点，，交轴于点.

（1）直接写出当时，的取值范围是____________；

（2）点在抛物线上，求的面积；

（3）如图2，将抛物线平移，使其顶点为原点，得到抛物线，直线与抛物线交于、两点，点是线段上一动点（不与、重合），试探究抛物线上是否存在点，点关于点的中心对称点也在抛物线上.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）6；（3）抛物线上存在点，点关于点的中心对称点也在抛物线上，理由见解析

【解析】

（1）由抛物线与坐标轴的交点坐标，依据函数图象即可写出y＞0时x的取值范围；

（2）求出P点坐标为（4，5），可求出直线PC的解析式，求出直线PC与x轴的交点坐标D（，0），由S△PCB=S△BDC+S△BDP可求出答案；

（3）由题意得抛物线C1的解析式为y=x2，设N（a，4），且-2＜a＜2，设R（m，m2），由中心对称的性质可表示K点的坐标，则得到关于m的方程，由此可判断结论．

解：（1）∵抛物线与y轴交于（0，-3），与x轴交于B（3，0），A（-1，0），
∴当y＞0时，x的取值范围为x＞3或x＜-1．

故答案为：或.

（2）将代入抛物线：中，

∴16-8-3=m，

∴，

∴，

设直线PC的解析式为y=kx+b，
∴ ，

解得

∴直线PC的解析式为y=2x-3

当y=0时，x= ，

∴直线：，则直线与轴的交点为，

∴DB=

∴.

（3）依题意得抛物线：，设，抛物线：上存在点，则点关于点成中心对称的点的坐标为，

当在抛物线：上，

∴，

∴得到关于的一元二次方程，

∴，

∵，

∴，

∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.

∴抛物线上存在点，点关于点的中心对称点也在抛物线上