Question

如图，点A在抛物线上，过点A作与x轴平行的直线交抛物线于点B，延长AO，BO分别与抛物线相交于点C，D，连接AD，BC，设点A的横坐标为m，且m＞0。

（1）当m=1时，求点A，B，D的坐标；
（2）当m为何值时，四边形ABCD的两条对角线互相垂直；
（3）猜想线段AB与CD之间的数量关系，并证明你的结论。

Answer 1

解：（1））∵点A在抛物线上，且
∴
∵点B与点A关于y轴对称
∴
设直线BD的解析式为y=kx
∴
∴
解方程组，得。
（2）当四边形ABCD的两对角线互相垂直时，由对称性得直线AO与x轴的夹角等于45°
所以点A的纵、横坐标相等，
这时，设A（a，a），代入，得a=4，∴A（4，4），
∴m=4
即当m=4时，四边形ABCD的两条对角线互相垂直。
（3）线段CD=2AB
∵点A在抛物线，且
∴
得直线AO的解析式为
解方程组，得
由对称性得点
∴
∴。