Question

如图，△ABC，∠A：∠B：∠C=7：2：3，请在图中按如下要求建立平面直角坐标系：BC在x轴上，点A的坐标为（0，2），并求点B的坐标和△ABC的面积．

Answer 1

分析：由BC在x轴上，且A的坐标，故以BC所在的直线为x轴，以BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，然后根据三角形内角之比，且由三角形的内角和定理，分别求出各内角的度数，在直角三角形AOC中，由∠ACB=45°，得到三角形AOC为等腰直角三角形，从而得到OA=OC，再由∠ABC为30°，根据30°所对的直角边等于斜边的一半，由AO的长求出AB的长，再根据勾股定理求出OB的长，可得到B的坐标，进而由OB+OC求出BC的长，再由BC边上的高AO，利用三角形的面积公式求出三角形ABC的面积．

解答：解：根据题意建立平面直角坐标系，把△ABC放在坐标系中，
∵∠BAC：∠ABC：∠ACB=7：2：3，且∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠BAC=

7

12

×180°=105°，∠ABC=

2

12

×180°=30°，∠ACB=

3

12

×180°=45°，
由BC边在x轴上，且A的坐标为（0，2），
得到AO⊥BC，∴△AOC为等腰直角三角形，
∴OC=OA=2，
又∠ABO=30°，∠AOB=90°，
∴AB=2AO=4，根据勾股定理得：BO=2

3

，
∴BC=BO+OC=2+2

3

，
则B（-2

3

，0），△ABC的面积是

1

2

BC•AO=2+2

3

．
（坐标轴、点B坐标和面积各3分）

点评：此题考查了解直角三角形，以及坐标与图形的性质，根据题意建立适当的平面坐标系，构造两直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质，直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，以及勾股定理达到解决问题的目的．