Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AC，∠BAC=90°，AC与BD相交于O，BC=BD，求证：CD=CO．

Answer 1

考点：梯形,含30度角的直角三角形,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：作AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，根据等腰直角三角形的性质用AB表示出BC及AF的长，由锐角三角函数的定义求出∠1的度数，根据BC=BD得出∠BDC的度数，由三角形外角的性质得出∠DOC的度数，进而可得出结论．

解答：解：如图，作AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，
在Rt△ABC中，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴BC=

2

AB，AF=

2

2

AB，
∴AF=

1

2

BC．
又∵DE=AF，
∴DE=

1

2

BC=

1

2

BD，
∴

DE

BD

=

1

2

，
∴sin∠1=

1

2

，
∴∠1=30°．
∵BC=BD，
∴∠BDC=∠BCD=

180°-30°

2

=75°，
∴∠DOC=∠1+∠ACB=30°+45°=75°=∠BDC，
∴DC=CO．

点评：本题考查了梯形及等腰三角形的判定，难度一般，关键是巧妙作辅助线进行解答．