Question

如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，AE交BF于H，CF交DE于N
（1）求证：HENF为平行四边形；
（2）若∠ANE=∠ABC，AB=8，AD=6

3

，AE=6．求AN的长．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质

专题：

分析：（1）由平行四边形ABCD的性质和矩形的判定定理推知四边形AECF是矩形，则AF=CE，故FD=BE，结合FD∥BE来证明FBED为平行四边形；由该平行四边形的性质推知四边形HENF为平行四边形；
（2）欲求AN的长度，只需通过相似三角形△ADN∽△DEC的对应边成比例得到：

AN

DC

=

AD

DE

．利用勾股定理可以求得DE=12，然后把相关线段的长度代入该比例式来求AN的长度即可．

解答：（1）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC．
∴FD∥BE．
∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是矩形，
∴AF=EC，
∴AD-AF=BC-EC，即FD=BE，
∴四边形FDEB是平行四边形，
∴BF∥ED，则HF∥EN，
又∵HE∥FN，
∴四边形HENF为平行四边形；

（2）解：∵在直角△EAD中，AD=6

3

，AE=6，
∴由勾股定理得 ED=

AE2+AD2

=12．
∵∠ABC=∠ADC=∠ADN+∠EDC，∠ANE=∠ABC，∠ANE=∠ADN+∠DAN，
∴∠ADN+∠EDC=∠ADN+∠DAN，
∴∠DAN=∠EDC．
又∵AD∥BC，
∴∠ADN=∠DEC，
∴△ADN∽△DEC，
∴

AN

DC

=

AD

DE

=

3

2

，
∴AN=

3

2

DC=

3

2

×8=4

3

．

点评：本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．