Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴的正半轴上，将线段绕点顺时针旋转90°得到，过点作轴的垂线，垂足为，连接交轴于点．

（1）当点在第三象限时，求实数的取值范围；

（2）在（1）的条件下，设，当取得最大值时，求图象经过两点的二次函数的解析式；

（3）在（2）的条件下，将直线向上平移个单位后与二次函数的图象交点的横坐标为，若，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

（1）将点B向下平移m个单位，此时点A′（6，﹣m），将此时点AB绕点B顺时针旋转90°得到点C′（﹣m，﹣6），将点C′向上平移m的单位得到点C（﹣m，m﹣6），即可求解；

（2）S＝S△ABO+S△ADC＝×AO×BO+×AD×CD＝×6×m+×（6+m）×（6﹣m）＝﹣m2+3m+18，故S有最大值，此时，m＝3，即可求解；

（3）函数的交点的横坐标为x0，若x0≥﹣3，则x＝﹣3时，抛物线在直线的上方，即可求解．

解：（1）将点B向下平移m个单位，此时点A′（6，﹣m），将此时点AB绕点B顺时针旋转90°得到点C′（﹣m，﹣6），

将点C′向上平移m的单位得到点C（﹣m，m﹣6），

点C在第三象限时，﹣m＜0且m﹣6＜0，

解得：0＜m＜6；

（2）S＝S△ABO+S△ADC＝×AO×BO+×AD×CD＝×6×m+×（6+m）×（6﹣m）＝﹣m2+3m+18，

∵﹣＜0，故S有最大值，此时，m＝3，

故点C（﹣3，﹣3），点A（6，0），

将点C、A的坐标代入一次函数表达式并解得：

直线AC的表达式为：y＝x﹣2，故点E（0，﹣2），

则c＝﹣2，将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝36a﹣6﹣2，解得：a＝，

故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣2…①；

（3）直线y＝（2﹣k）x+2向上平移k个单位后得到函数为：y＝（2﹣k）x+2+2…②，

联立①②并整理得：x2﹣（3﹣k）x﹣4﹣k＝0，

△＝（3﹣k）2+（4+k）＝k2﹣k+＞0，

故抛物线于直线有两个交点，

交点的横坐标为x0，若x0≥﹣3，则x＝﹣3时，抛物线在直线的上方，

当x＝﹣3时，y＝x2﹣x﹣2＝3，

当x＝﹣3时，y＝（2﹣k）x+2+2＝4k﹣4，

即4k﹣4≤3，

解得：k≤．