题目内容
【题目】如图，在直角三角形△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝16cm，点P从A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动．P，Q分别从A，B同时出发，当一个动点到达终点则另一动点也随之停止运动．设运动时间为t(s)
(1)求t为何值时，△PBQ为等腰三角形？
(2)是否存在某一时刻t，使点Q在线段AC的垂直平分线上？
(3)点P、Q在运动的过程中，是否存在某一时刻t，直线PQ把△ABC的周长与面积同时分为1：2两部分？若存在，求出t，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)t＝2；(2)t＝
秒；(3)存在，当t＝2时，直线PQ把△ABC的周长与面积同时分为1：2两部分．
【解析】
（1）根据题意求出AP＝2t，BQ＝4t，根据等腰三角形的概念列出方程，解方程即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到QC＝QA，根据勾股定理表示出AQ，根据题意列出方程，解方程即可；
（3）分AC+AP+CQ＝2×（BP+BQ）和2（AC+AP+CQ）＝BP+BQ两种情况，根据周长公式求出t，根据三角形的面积公式判断即可．
解：(1)由题意得，AP＝2t，BQ＝4t，
则BP＝12﹣2t，
当△PBQ为等腰三角形时，只有BP＝BQ，
∴12﹣2t＝4t，
解得，t＝2；
(2)当点Q在线段AC的垂直平分线上时，QC＝QA，
设BQ＝x，
则
＝16﹣x，
解得，x＝3.5，即BQ＝3.5，
∴t＝
＝(秒)；
(3)在Rt△ABC中，AC＝
＝20，
△ABC的面积＝
×AB×BC＝96cm2，
当直线PQ把△ABC的周长分为1：2两部分时，
①当AC+AP+CQ＝2×(BP+BQ)时，20+2t+16﹣4t＝2(12﹣2t+4t)，
解得，t＝2，
则PB＝12﹣4＝8，BQ＝4×2＝8，
则△BPQ的面积＝×PB×QB＝32，
∴四边形CAPQ的面积＝96﹣32＝64，
△BPQ的面积：四边形CAPQ的面积＝1：2，
∴当t＝2时，直线PQ把△ABC的周长与面积同时分为1：2两部分，
②当2(AC+AP+CQ)＝BP+BQ时，2(20+2t+16﹣4t)＝12﹣2t+4t，
解得，t＝10(不合题意)，
∴当t＝2时，直线PQ把△ABC的周长与面积同时分为1：2两分．
