Question

如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线上一点，BE=DG，连接EG，CF⊥EG交EG于点H，交AD于点F，连接CE，BH．若BH=8，则FG=　　．

Answer 1

5【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．

【专题】几何图形问题；压轴题．

【分析】如解答图，连接CG，首先证明△CGD≌△CEB，得到△GCE是等腰直角三角形；过点H作AB、BC的垂线，垂足分别为点M、N，进而证明△HEM≌△HCN，得到四边形MBNH为正方形，由此求出CH、HN、CN的长度；最后利用相似三角形Rt△HCN∽Rt△GFH，求出FG的长度．

【解答】解：如图所示，连接CG．

在△CGD与△CEB中

∴△CGD≌△CEB（SAS），

∴CG=CE，∠GCD=∠ECB，

∴∠GCE=90°，即△GCE是等腰直角三角形．

又∵CH⊥GE，

∴CH=EH=GH．

过点H作AB、BC的垂线，垂足分别为点M、N，则∠MHN=90°，

又∵∠EHC=90°，

∴∠1=∠2，

∴∠HEM=∠HCN．

在△HEM与△HCN中，

∴△HEM≌△HCN（ASA）．

∴HM=HN，

∴四边形MBNH为正方形．

∵BH=8，

∴BN=HN=4，

∴CN=BC﹣BN=6﹣4=2．

在Rt△HCN中，由勾股定理得：CH=2．

∴GH=CH=2．

∵HM∥AG，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3．

又∵∠HNC=∠GHF=90°，

∴Rt△HCN∽Rt△GFH．

∴，即，

∴FG=5．

故答案为：5．

【点评】本题是几何综合题，考查了全等三角形、相似三角形、正方形、等腰直角三角形、勾股定理等重要知识点，难度较大．作出辅助线构造全等三角形与相似三角形，是解决本题的关键．