Question

某商场销售一批品牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）如果每件衬衣降价x元，每天可以销售y件，求y与x的函数关系式；
（2）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（3）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？

Answer 1

考点：二次函数的应用,一元二次方程的应用

专题：销售问题

分析：（1）利用每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，即可得出每件衬衣降价x元，每天可以多销售2x件，进而得出y与x的函数关系式；
（2）利用商场降价后每天盈利=每件的利润×卖出的件数=（40-降低的价格）×（20+增加的件数），把相关数值代入即可求解；
（3）利用商场降价后每天盈利=每件的利润×卖出的件数=（40-降低的价格）×（20+增加的件数），利用二次函数最值求法得出即可．

解答：解：（1）∵某商场销售一批品牌衬衫，平均每天可售出20件，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
∴每件衬衣降价x元，每天可以销售y件，y与x的函数关系式为：y=20+2x；

（2）∵商场平均每天要盈利1200元，
∴（40-x）（20+2x）=1200，
整理得：2x²-60x+400=0，
解得：x₁=20，x₂=10，
因为要减少库存，在获利相同的情况下，降价越多，销售越快，故每件衬衫应降20元；

（3）设商场平均每天赢利w元，
则 w=（20+2x）（40-x），
=-2x²+60x+800，
=-2（x-15）²+1250．
∴当x=15时，w取最大值，最大值为1250．
答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1250元．

点评：此题主要考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解决本题的关键是找到销售利润的等量关系，难点是得到降价后增加的销售量．