Question

【题目】综合与实践

问题情境

数学活动课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展数学活动，和是两个全等的直角三角形纸片，其中，，．

解决问题

（1）如图①，智慧小组将绕点顺时针旋转，发现当点恰好落在边上时，，请你帮他们证明这个结论；

（2）缜密小组在智慧小组的基础上继续探究，连接，当C绕点继续旋转到如图②所示的位置时，他们提出，请你帮他们验证这一结论是否正确，并说明理由；

探索发现

（3）如图③，勤奋小组在前两个小组的启发下，继续旋转，当三点共线时，求的长；

（4）在图①的基础上，写出一个边长比为的三角形（可添加字母）．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）正确，理由详见解析；（3）；（4）答案不唯一，合理即可．

【解析】

（1）如图①中，根据旋转的性质可得AC=CD，然后求出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ACD=60°，然后根据内错角相等，两直线平行进行解答；

（2）如图②中，作DM⊥BC于M，AN⊥EC交EC的延长线于N．根据旋转的性质可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角边”证明△ACN和△DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明．

（3）如图③中，作CH⊥AD于H．解直角三角形求出AD，证明∠BAD=90°，利用勾股定理即可解决问题．

（4）根据含有30°的直角三角形的三边之比为1：：2求解即可．

（1）如图①中，∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，

∴AC=CD，

∵∠BAC=90°-∠B=90°-30°=60°，

∴△ACD是等边三角形，

∴∠ACD=60°，

又∵∠CDE=∠BAC=60°，

∴∠ACD=∠CDE，

∴DE∥AC；

（2）如图②中，作DM⊥BC于M，AN⊥EC交EC的延长线于N．

∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到

∴BC=CE，AC=CD，

∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°，

∴∠ACN=∠DCM，

在△ACN和△DCM中，

，

∴△ACN≌△DCM（AAS），

∴AN=DM，

∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），

即S△BDC=S△AEC．

（3）如图③中，作CH⊥AD于H．

∵，

∵B，A，E共线，

∴∠BAC+∠EAC=180°，

∴∠EAC=120°，

∵∠EDC=60°，

∴∠EAC+∠EDC=180°，

∴A，E，D，C四点共圆，

∴∠CAD=∠CED=30°，∠BAD=90°，

∵CA=CD，CH⊥AD，AC=CD=AB=2

∴AH=DH=ACcos30°=，

∴AD=2，

∴．

（4）如图①中，设DE交BC于T．

因为含有30°的直角三角形的三边之比为1：：2，

由（1）可知△BDT，△DCT，△ECT都是含有30°的直三角形，

∴△BDT，△DCT，△ECT符合条件．