Question

【题目】如果一个三角形能被一条线段割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．

（1）如图1，是等腰锐角三角形，，若的角平分线交于点，且是的一条特异线，则 度．

（2）如图2，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点，求证：是的一条特异线；

（3）如图3，若是特异三角形，，为钝角，不写过程，直接写出所有可能的的度数．

Answer 1

【答案】（1）72；（2）证明见解析；（3）∠B度数为：135°、112.5°或140°.

【解析】

（1）根据等腰三角形性质得出∠C=∠ABC=∠BDC=2∠A，据此进一步利用三角形内角和定理列出方程求解即可；

（2）通过证明△ABE与△AEC为等腰三角形求解即可；

（3）根据题意分当BD为特异线、AD为特异线以及CD为特异线三种情况分类讨论即可.

（1）∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD=∠ABC，

∵BD是△ABC的一条特异线，

∴△ABD与△BCD为等腰三角形，

∴AD=BD=BC，

∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC，

∴∠ABC=∠C=∠BDC，

∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A，

设∠A=x，则∠C=∠ABC=∠BDC=2x，

在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，

即：x+2x+2x=180°，

∴x=36°，

∴∠BDC=72°，

故答案为：72；

（2）∵DE是线段AC的垂直平分线，

∴EA=EC，

∴△EAC为等腰三角形，

∴∠EAC=∠C，

∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，

∵∠B=2∠C，

∴∠AEB=∠B，

∴△EAB为等腰三角形，

∴AE是△ABC的一条特异线；

（3）

如图3，当BD是特异线时，

如果AB=BD=DC，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=120°+15°=135°；

如果AD=AC，DB=DC，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=75°+37.5°=112.5°；

如果AD=DB，DC=DB，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+60°=90°，不符合题意，舍去；

如图4，当AD是特异线时，AB=BD，AD=DC，

则：∠ABC=180°20°20°=140°；

当CD为特异线时，不符合题意；

综上所述，∠B度数为：135°、112.5°或140°.