Question

17．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+12与x轴、y轴交于A、B两点，点C是线段AB的中点，点D在线段OC上，OD=2CD．
（1）点C的坐标为（3，6）；
（2）求直线AD的解析式；
（3）P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，使以为O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）对于直线y=-2x+12，分别令x与y等于0，求出对应y与x的值，确定出A与B的坐标，得出线段AB的中点坐标，即为C的坐标；
（2）由C，D，以及OD=2CD，求出三等份点D坐标，设直线AD解析式为y=kx+b，把A与D坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线AD解析式；
（3）在平面内存在点Q，使以为O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形，如图所示，分三种情况考虑：当四边形OP₁AQ₁为菱形；当四边形OAP₂Q₂为菱形；当四边形AP₃Q₃O为菱形，分别求出Q坐标即可．

解答 解：（1）对于直线y=-2x+12，
令x=0，得到y=12；令y=0，得到x=6，
∴A（6，0），B（0，12），
∵C为线段AB的中点，
∴C（3，6）；
故答案为：（3，6）；
（2）∵C（3，6），O（0，0），且OD=2CD，
∴D（2，4），
设直线AD解析式为y=kx+b，
把A与D坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{2k+b=4}\end{array}\right.$，
解得：k=-1，b=6，
∴直线AD解析式为y=-x+6；
（3）在平面内存在点Q，使以为O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形，
如图所示，分三种情况考虑：
当四边形OP₁AQ₁为菱形，由A（6，0）及菱形性质得到P₁与Q₁横坐标为3，
把x=3代入直线y=-x+6，得：y=3，即P₁（3，3），Q₁（3，-3）；
当四边形OAP₂Q₂为菱形，可得AP₂=OA=6，设P₂（x，-x+6），
根据勾股定理得：（x-6）²+（-x+6）²=6²，
解得：x=6+3$\sqrt{2}$或x=6-3$\sqrt{2}$（舍去），
此时P₂（6+3$\sqrt{2}$，-3$\sqrt{2}$），Q₂（3$\sqrt{2}$，-3$\sqrt{2}$）；
当四边形AP₃Q₃O为菱形，可得OQ₃=OA=6，设P₃（a，-a+6），Q₃（a-6，-a+6），
根据勾股定理得：（a-6）²+（-a+6）²=6²，
解得：a=6+3$\sqrt{2}$（舍去）或a=6-3$\sqrt{2}$，
此时P₃（6-3$\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$），Q₃（-3$\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$），
综上，在平面内存在点Q，使以为O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形，此时Q坐标为（3，-3）或（3$\sqrt{2}$，-3$\sqrt{2}$）或（-3$\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$）．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，菱形的性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题第二问的关键．