如图.已知矩形ABCO.OA=4.AB=8.沿DE折叠.使点C与A重合.B点落在G点位置.分别以OC.OA所在的直线为x轴.y轴建立直角坐标系．(1)求出E点的坐标.及过A.E.C三点抛物线解析式,(2)求出△ADE的面积.及折痕DE的长,(3)点P为DE边上的一个动点.以每秒$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$个单位从D点向终点E运动.Q点以每秒1个单位� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．

如图，已知矩形ABCO，OA=4，AB=8，沿DE折叠，使点C与A重合，B点落在G点位置，分别以OC、OA所在的直线为x轴，y轴建立直角坐标系．
（1）求出E点的坐标，及过A、E、C三点抛物线解析式；
（2）求出△ADE的面积，及折痕DE的长；
（3）点P为DE边上的一个动点，以每秒$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$个单位从D点向终点E运动，Q点以每秒1个单位从E点向A运动，P点停止，Q点也随之停止运动，设运动时间为t秒，问是否存在t的值，使△PEQ为直角三角形？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．

分析（1）由折叠得到AE=CE，在直角三角形AOE中，求出OE，AE，CE，得到点E的坐标，再用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）同（1）的方法求出AD，从而求出三角形ADE的面积，再用勾股定理求出折痕DE，
（3）先时间0＜t≤4，然后求出∠AED的余弦值，表示出DP，PE，EQ，分两种情况用∠AED的余弦值建立方程，求出时间t．

解答解：（1）由折叠得，AE=CE，
设OE=x，AE=CE=8-x，
在RT△AOE中，OA=4，
根据勾股定理得，AE²=OA²+OE²，
∴（8-x）²=16+x²，
∴x=3，
∴OE=3，AE=CE=5，
∴点E（3，0），
∵C（8，0），
∴设抛物线解析式为y=a（x-3）（x-8），
∵点A（0，4）在抛物线上，
∴24a=4，
∴a=$\frac{1}{6}$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{6}$（x-3）（x-8）=$\frac{1}{6}$x²-$\frac{11}{6}$x+4，
（2）如图1，

同（1）的方法求得，AD=5，BD=3，
∴S△ADE=$\frac{1}{2}$AD×OA=$\frac{1}{2}$×5×4=10，
过点D作DF⊥OC，
∵CE=5，EF=CE-FC=CE-BD=5-3=2，
在RT△DEF中，DF=4，EF=2，
根据勾股定理得，DE=$\sqrt{D{F}^{2}+E{F}^{2}}$=2$\sqrt{5}$；
（3）如图2，∵点P，Q分别是线段上的动点，
∴0＜t≤4，

由（1）（2）得AE=AD=5，DE=2$\sqrt{5}$，
过点A作AG⊥DE，
∴EG=$\sqrt{5}$，
∴cos∠AED=$\frac{EG}{AE}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵点P为DE边上的一个动点，以每秒$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$个单位从D点向终点E运动，Q点以每秒1个单位从E点向A运动，
∴DP=$\frac{\sqrt{5}}{2}$t，EQ=t，
∴PE=DE-DP=2$\sqrt{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{2}$t，
∴△PEQ为直角三角形，
∴①当∠PQE=90°时，
cos∠AED=$\frac{EQ}{PE}$=$\frac{t}{2\sqrt{5}-\frac{\sqrt{5}}{2}t}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴t=$\frac{4}{3}$，
②当∠Q′P′E=90°时，
cos∠AED=$\frac{P′E}{Q′E}$=$\frac{2\sqrt{5}-\frac{\sqrt{5}}{2}t}{t}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴t=$\frac{20}{7}$，
即：当t=$\frac{4}{3}$或t=$\frac{20}{7}$时，△PEQ为直角三角形．