Question

如图，正方形ABCD中，E、F分别为边AD、DC上的点，且AE=FC，过F作FH⊥BE，交AB于G，过H作HM⊥AB于M，若AB=6，AE=2，则下列结论中：①∠BGF=∠CFB；②

2

DH=EH+FH；③

HM

BC

=

1

4

，其中结论正确的是（　　）

A．只有①②

B．只有①③

C．只有②③

D．①②③

Answer 1

分析：根据A、G、H、E四点共圆得出∠AEB=∠BGF，证△AEB≌△CFB，推出∠AEB=∠CFB，即可判断①；延长BE到Q，使EQ=FH，连接DQ，证△DFH≌△DEQ，推出DQ=DH，∠QDE=∠FDH，求出∠QDH=∠QDE+∠EDH=∠ADC=90°，得出△DQH是等腰直角三角形，由勾股定理得出QH=

2

DH，即可判断②；延长MH交CD于N，证△BHM∽△BEA，求出BM=3HM，设HM=a，BM=3a，证△HMG∽△BAE，求出GM=

1

3

HM=

1

3

a，证△HMG∽△HNF，推出

HM

GM

=

HN

NF

，代入得出

a

1 3 a

=

6-a

3a-2

，求出a，即可判断③．

解答：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=6，DC∥AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠C=90°，AB=BC，
∵FH⊥BE，
∴∠EHG=90°，
∴∠A+∠EHG=180°，
∴A、E、H、G四点共圆，
∴∠BGF=∠AEB，
在△EAB和△FCB中

AE=CF ∠A=∠C AB=BC

∴△EAB≌△FCB（SAS），
∴∠CFB=∠AEB，
∵∠BGF=∠AEB，
∴∠NGF=∠CFB，∴①正确；
延长BE到Q，使EQ=FH，连接DQ，
∵DC∥AB，
∴∠FGB=∠DFH，
∵∠FGB=∠AEB，∠AEB=∠DEQ，
∴∠DFH=∠DEQ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，AD=DC，
∵CF=AE，
∴DF=DE，
在△DFH和△DEQ中

DF=DE ∠DFH=∠DEQ FH=EQ

∴△DFH≌△DEQ（SAS），
∴DQ=DH，∠QDE=∠FDH，
∵∠ADC=90°，
∴∠QDH=∠QDE+∠EDH=∠FDH+∠EDH=∠ADC=90°，
即△DQH是等腰直角三角形，
由勾股定理得：QH=

2

DH，
即EH+FH=

2

DH，∴②正确；
延长MH交CD于N，
∵HM⊥AB，∠A=90°，
∴AD∥HM，
∴△BHM∽△BEA，
∴

HM

AE

=

BM

AB

，
∴

HM

2

=

BM

6

，
∴BM=3HM，
设HM=a，BM=3a，
∵HM⊥AB，
∴∠HMG=∠A=90°，
∵∠BGF=∠AEB，
∴△HMG∽△BAE，
∴

HM

GM

=

AE

AB

=

2

6

，
∴GM=

1

3

HM=

1

3

a，
∵AB∥DC，
∴△HMG∽△HNF，
∴

HM

GM

=

HN

NF

，
∵NF=CN-CF=BM-CF=3a-2，HN=MN-MH=AD--HM=6-a，HM=a，GM=

1

3

a，
∴

a

1 3 a

=

6-a

3a-2

，
解得：a=

6

5

，
即HM=

6

5

，
∵BC=AB=6，
∴

HM

BC

=

6 5

6

=

1

5

，∴③错误．
故选A．

点评：本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，平行线性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，有一定的难度．