题目内容

如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线x=1，与y轴负半轴交于C点，与x轴交于A、B两点，其中B点的坐标为（3，0），C点坐标为（0，-3）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点G（2，-3）是该抛物线上一点，点E是直线AG下方的抛物线上一动点，当点E运动到什么位置时，△AEG的面积最大？求出此时E点的坐标和△AEG的最大面积；
（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点（其中点M在点N的右侧），在x轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵抛物线的对称轴为x=1，且B（3，0），
∴A（-1，0）；
可设抛物线的解析式为：y=a（x-3）（x+1），则有：
（-3）×1×a=-3，a=1；

∴y=x²-2x-3

（2）当E运动到 $\text{[math]}$ 时有最大面积，最大面积是 $\text{[math]}$ ，理由如下：
过E作EF⊥x轴于F，过G作GH⊥x轴于H；
设E（x₀，y₀），则F（x₀，0），EF=-（x₀²-2x₀-3）
因为G（2，-3）所以GH=3
$\text{[math]}$ ，S_△AGH= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
所以S_△AGE= $\text{[math]}$
当 $\text{[math]}$ 时，有最大值为 $\text{[math]}$ ；（7分
将 $\text{[math]}$ 代入y=x²-2x-3，

得 $\text{[math]}$ ；
所以E $\text{[math]}$ ；

（3）存在，Q（1，0）或（ $\text{[math]}$ ）或（ $\text{[math]}$ ）理由如下
因为MN平行与x轴，
所以M、N关于x=1对称
①若NQ=QM，则Q必在MN的中垂线即对称轴x=1上，所以Q（1，0）
②若QN=MN，则∠QMN=90°，设M（m₁，n₁）

则有：N（2-m₁，n₁），MN=m₁-（2-m₁）=2m₁-2
QN=|n₁|，
所以|n₁|=2m₁-2，其中n₁=m₁²-2m₁-3
同理若QM=MN，QM=|n₁|，n₁=m₁²-2m₁-3，
综上可得|n₁|=2m₁-2
解得 $\text{[math]}$ ；
∴Q₁（ $\text{[math]}$ ，0），Q₂（- $\text{[math]}$ ，0），Q₃（2+ $\text{[math]}$ ，0），Q₄（2- $\text{[math]}$ ，0）．
综上所述，存在符合条件的Q点，
且坐标为：Q₁（ $\text{[math]}$ ，0），Q₂（- $\text{[math]}$ ，0），Q₃（2+ $\text{[math]}$ ，0），Q₄（2- $\text{[math]}$ ，0），Q₅（1，0）．
分析：（1）根据抛物线的对称轴方程及B点坐标，可求得A点坐标，再用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）可分别过E、G作x轴的垂线，设垂足为F、H；那么△AGE的面积=△AEF的面积+四边形FHGE的面积-△AGH的面积，设出E点的坐标，即可表示出F点坐标及EF的长，根据上面所得出的面积计算方法，可得出关于△AGE的面积与E点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质，即可求出△AGE的最大面积及对应的E点坐标；
（3）分两种情况讨论：
①以MN为斜边，则Q点在MN的垂直平分线上，即Q点为抛物线对称轴与x轴交点，由此可得出Q点坐标；
②以MN为直角边；设出M、N的坐标，可表示出MN的长，由于△MNQ是等腰Rt△，则MN的长与M、N的纵坐标的绝对值相同，由此可求出M、N的坐标，也就求出了Q点的坐标．
点评：此题考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、二次函数的应用、等腰直角三角形的判定和性质等知识，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．