Question

用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形，设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为x．

（1）上图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表：

多边形的序号	①	②	③	④	…
多边形的面积S	2	2.5	3	4	…
多边形各边上格点的个数和x	4	5	6	8	…

请写出S与x之间的关系式． 答：S=

 

；
（2）请你再画出一些格点多边形，使这些多边形内部都有而且只有2格点，如序号⑤．此时所画的各个多边形的面积S与它各边上格点的个数和x之间的关系式是S=

 

；
（3）请你继续探索，当格点多边形内部有且只有n个格点时，猜想S与x有怎样的关系？

Answer 1

考点：规律型：图形的变化类

专题：

分析：（1）2=4×

1

2

，2.5=5×

1

2

，3=6×

1

2

，4=8×

1

2

多边形的面积=各边上格点个数和的一半，即S=

1

2

x；
（2）内部有2个格点就是指图形的中间有2个小正方形的顶点，由此画图；并根据图找出S与x的关系．
（3）由图可知多边形内部都有而且只有n格点时，面积为：S=

1

2

x+（n-1）．

解答：解：（1）多边形的面积=各边上格点个数和的一半，即S=

1

2

x；

（2）如图所示：

根据图可知：
正方形的面积是6，它的各边上格点的个数和x是10，中间格点数是2，
6=10×

1

2

+1；
三角形的面积是3，它的各边上格点的个数和x是4，中间格点数是2，
3=4×

1

2

+1；
梯形的面积是5，它的各边上格点的个数和x是8，中间格点数是2，
5=8×

1

2

+1；
那么S=

1

2

x+1；

（3）通过上题探究可知：
最后的1就是内部的格点数2-1而得；
所以格点多边形面积=各边上格点的个数和×

1

2

+（多边形内部格点数-1）；
即S=

1

2

x+（n-1）．

点评：此题考查图形的变化规律，需要根据图中表格和自己所算得的数据，总结出规律，利用规律解决问题．