Question

已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CF⊥AB于点F，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为BD中点，连接AE交CF于点H，连接CE．
（1）求证：点H是CF中点；
（2）若⊙O的半径为2，BE=3，求CF的长．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）由C是以AB为直径的半圆O上一点，CF⊥AB于点F，直线AC与过B点的切线相交于点D，易证得CF∥BD，即可得△AFH∽△ABE，△ACH∽△ADE，然后由相似三角形的对应边成比例，证得点H是CF中点；
（2）首先连接BC，易得Rt△ABC∽Rt△ADB，△ACF∽△ADB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．

解答：（1）证明：∵BD是⊙O的切线，
∴DB⊥AB，
∴CF⊥AB，
∴CF∥BD，
∴△AFH∽△ABE，△ACH∽△ADE，
∴

CH

DE

=

AH

AE

=

FH

BE

，
∵E为BD中点，
即DE=BE，
∴CH=FH，
即点H是CF中点；

（2）解：连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵BE=3，
∴BD=2BE=6，
在Rt△ABD中，AB=4，
∴AD=

AB2+BD2

=2

13

，
∵∠BAC=∠DAB，
∴Rt△ABC∽Rt△ADB，
∴

AC

AB

=

AB

AD

，即

AC

4

=

4

2 13

，
∴AC=

8 13

13

，
∵CF∥BD，
∴△ACF∽△ADB，
∴

CF

BD

=

AC

AD

，即

CF

6

=

8 13 13

2 13

，
∴CF=

24

13

．

点评：此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．