Question

18．如图，菱形ABCD中，AB=AC=2，点E、F是AB，AD边上的动点，且AE=DF，则EF长的最小值为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 首先证明△CEF是等边三角形，构建垂线段最短可知，当CE⊥AB时，CE最短，即EF最短．

解答 解：如图，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=AC，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，
∴∠EAC=∠D=60°，
在△EAC和△FDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{EA=FD}\\{∠EAC=∠D}\\{AC=DC}\end{array}\right.$，
∴△EAC≌△FDC，
∴EC=CF，∠ACE=∠DCF，
∴∠ECF=∠ACD=60°，
∴△ECF是等边三角形，
∴CE=EF=CF，
∵CE⊥AB时，线段CE最小，最小值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2=$\sqrt{3}$，
∴EF的最小值为$\sqrt{3}$．
故答案为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，灵活运用垂线段最短解决最值问题，属于中考常考题型．