题目内容
已知a、b、c是实数．若| b2+c2-a2 |
| 2bc |
| c2+a2-b2 |
| 2ca |
| a2+b2-c2 |
| 2ab |
分析：首先由题设得出
=0，分别得出a+b-c=0或c-a+b=0或c+a-b=0，然后分别求出三个分数的值．
| (a+b-c)(c+a-b)(c-a+b) |
| 2abc |
解答：证明：由题设得：
+
+
=1，
即（
-1）+（
-1）+（
+1）=0，
∴
+
+
=0，
∴
+
+
=0，
∴
+
=0，
∴
=0，
∴
=0，
∴
=0，
∴a+b-c=0或c-a+b=0或c+a-b=0，
（1）若a+b-c=0，则
=
=1，
=
=1，
=
=-1，
（2）若c+a-b=0，同理可得：
=1，
=-1，
=1，
（3）若b+c-a=0，同理可得：
=-1，
=1，
=1，
综上所述（1）、（2）、（3）可得，三个分数，
、
、
的值有两个为1，一个为-1．
| b2+c2-a2 |
| 2bc |
| c2+a2-b2 |
| 2ca |
| a2+b2-c2 |
| 2ab |
即（
| b2+c2-a2 |
| 2bc |
| c2+a2-b2 |
| 2ca |
| a2+b2-c2 |
| 2ab |
∴
| b2+c2-a2-2bc |
| 2bc |
| a 2+c2-b2-2ac |
| 2ac |
| a2+b2-c2+2ab |
| 2ab |
∴
| (b-c) 2-a2 |
| 2bc |
| (a-c) 2-b2 |
| 2ac |
| (a+b) 2-c2 |
| 2ab |
∴
| a(b-c+a)(b-c-a)+b(a-c+b)(a-c-b) |
| 2abc |
| c(a+b+c)(a+b-c) |
| 2abc |
∴
| (a+b-c)(ab-ac-a2+ab-bc-b2+ac+bc+c2) |
| 2abc |
∴
| (a+b-c)[c2-(a-b) 2] |
| 2abc |
∴
| (a+b-c)(c+a-b)(c-a+b) |
| 2abc |
∴a+b-c=0或c-a+b=0或c+a-b=0，
（1）若a+b-c=0，则
| b2+c2-a2 |
| 2bc |
| b2+c2-(b-c) 2 |
| 2bc |
| c2+a2-b2 |
| 2ca |
| c2+a2 -(c-a) 2 |
| 2ac |
| a2+b2-c2 |
| 2ab |
| a2+b2-(a+b) 2 |
| 2ab |
（2）若c+a-b=0，同理可得：
| b2+c2-a2 |
| 2bc |
| c2+a2-b2 |
| 2ca |
| a2+b2-c2 |
| 2ab |
（3）若b+c-a=0，同理可得：
| b2+c2-a2 |
| 2bc |
| c2+a2-b2 |
| 2ca |
| a2+b2-c2 |
| 2ab |
综上所述（1）、（2）、（3）可得，三个分数，
| b2+c2-a2 |
| 2bc |
| c2+a2-b2 |
| 2ca |
| a2+b2-c2 |
| 2ab |
的值有两个为1，一个为-1．
点评：此题主要考查了分式的等式证明的知识点，解答本题的关键是
=0，进而分析得出．
| (a+b-c)(c+a-b)(c-a+b) |
| 2abc |
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，ab+
c2+
=0，求
-c的值．