Question

△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C=90°，AC=BC=2，
（1）要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积大？请说明理由．
（2）图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得正方形面积为s₁；按照甲种剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为s₂（如图2），则s₂=

 

；再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形面积和为s₃，继续操作下去…，则第10次剪取时，s₁₀=

 

；
（3）求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和．

Answer 1

分析：（1）分别求出甲、乙两种剪法所得的正方形面积，进行比较即可；
（2）按图1中甲种剪法，可知后一个三角形的面积是前一个三角形的面积的

1

2

，依此可知结果；
（3）探索规律可知：Sn=

1

2n-1

，依此规律可得第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和．

解答：解：（1）解法1：如图甲，由题意，得AE=DE=EC，即EC=1，S_{正方形CFDE}=1²=1
如图乙，设MN=x，则由题意，得AM=MQ=PN=NB=MN=x，
∴3x=2

2

，
解得x=

2 2

3

∴S正方形PNMQ=(

2 2

3

)2=

8

9

又∵1＞

8

9

∴甲种剪法所得的正方形面积更大．
说明：图甲可另解为：由题意得点D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，S_{正方形OFDE}=1．

解法2：如图甲，由题意得AE=DE=EC，即EC=1，
如图乙，设MN=x，则由题意得AM=MQ=QP=PN=NB=MN=x，
则3x=2

2

，
解得x=

2 2

3

，
又∵1＞

2 2

3

，即EC＞MN．
∴甲种剪法所得的正方形面积更大．

（2）S2=

1

2

，S10=

1

29

．

（3）解法1：探索规律可知：Sn=

1

2n-1

剩余三角形面积和为2-（S₁+S₂+…+S₁₀）=2-（1+

1

2

+…+

1

29

）=

1

29

解法2：由题意可知，
第一次剪取后剩余三角形面积和为2-S₁=1=S₁
第二次剪取后剩余三角形面积和为S1-S2=1-

1

2

=

1

2

=S2，
第三次剪取后剩余三角形面积和为S2-S3=

1

2

-

1

4

=

1

4

=S3，
…
第十次剪取后剩余三角形面积和为S9-S10=S10=

1

29

．

点评：本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，得出甲、乙两种剪法，所得的正方形面积是解题的关键．