Question

15．如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB=AC，AB的垂直平分线EM交BC于M，AC的垂直平分线FN交BC于N，EM交FN于P．
（1）求证：△PMN是等腰三角形；
（2）连接AM，AN和EF，试探索△AEF与△AMN周长间的大小关系．

Answer 1

分析 （1）由AB=AC，可得∠B=∠C，又由AB的垂直平分线EM交BC于M，AC的垂直平分线FN交BC于N，可得∠PMN=∠BME=90°-∠B，∠PNM=∠CNF=90°-∠C，继而证得△PMN是等腰三角形；
（2）由AB的垂直平分线EM交BC于M，AC的垂直平分线FN交BC于N，可得△AMN周长=BC，△AEF的周长大于BC，即可求得△AEF与△AMN周长间的大小关系．

解答 （1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AB的垂直平分线EM交BC于M，AC的垂直平分线FN交BC于N，
∴∠PMN=∠BME=90°-∠B，∠PNM=∠CNF=90°-∠C，
∴∠PMN=∠PNM，
∴PM=PN，
即△PMN是等腰三角形；

（2）△AEF的周长大于△AMN的周长．
理由：∵AB的垂直平分线EM交BC于M，AC的垂直平分线FN交BC于N，
∴AM=BM，AN=CN，AE=$\frac{1}{2}$AB，AF=$\frac{1}{2}$AC，
∴△AMN的周长为：AM+MN+AN=BM+MN+CN=BC，EF=$\frac{1}{2}$BC，
∵AB+AC＞BC，
∴$\frac{1}{2}$AB+$\frac{1}{2}$AC＞$\frac{1}{2}$BC，
∴AE+AF＞$\frac{1}{2}$BC，
∴AE+AF+EF＞$\frac{1}{2}$BC+$\frac{1}{2}$BC=BC，
∴△AEF的周长大于△AMN的周长．

点评 此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意比较△AEF与△AMN周长间的大小关系时，找到BC和它们的关系是关键．