Question

2．如图，已知⊙O的直径AB长为4，弦AC为1，点E在AC的延长线上，连接BC，∠BCE的平分线CD交⊙O于点D，连接AD、BD．
（1）求BC的长；
（2）求BD的长．

Answer 1

分析 （1）先根据圆周角定理得出∠ACB=90°，再由勾股定理即可得出结论；
（2）根据角平分线的定义求出∠BCD的度数，由圆周角定理求出∠DAB的度数，根据三角形内角和定理求出∠ABD的度数，根据勾股定理即可得出结论．

解答 解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∵直径AB长为4，弦AC为1，
∴BC=$\sqrt{{AB}^{2}-{AC}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{15}$；

（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠BCE=∠ADB=90°．
∵CD平分∠BCE，
∴∠BCD=$\frac{1}{2}$∠BCE=45°，
∴∠DAB=∠BCD=45°．
∵∠ADB=90°，
∴∠DAB=∠DBA=45°，
∴AD=BD=$\sqrt{\frac{1}{2}{AB}^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{2}×{4}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．