题目内容
在梯形OABC中，CB∥OA，∠AOC=60°，∠OAB=90°，OC=2，BC=4，以点O为原点，OA所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，另有一边长为2的等边△DEF，DE在x轴上（如图（1）），如果让△DEF以每秒1个单位的速度向左作匀速直线运动，开始时点D与点A重合，当点D到达坐标原点时运动停止．（1）设△DEF运动时间为t，△DEF与梯形OABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式．
（2）探究：在△DEF运动过程中，如果射线DF交经过O、C、B三点的抛物线于点G，是否存在这样的时刻t，使得△OAG的面积与梯形OABC的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）根据F与B重合前后及E与A重合前后，分三种情况求S关于t的函数关系式；
（2）依题意得D（4-t，0），求出直线OC解析式，根据DF∥OC确定直线DF解析式，再由△OAG的面积与梯形OABC的面积相等，求出G点纵坐标，根据G点在抛物线上求G点横坐标，代入直线DF解析式求t，判断是否符号t的取值范围即可．
解答：解：（1）依题意得OA=5，
当0≤t＜1时，s=
t2，
当1≤t＜2时，s=
-
（2-t）2=-
t2+2
t-
，
当2≤t≤5时，s=
；
（2）存在．
依题意，得C（1，
），B（5，
），抛物线对称轴为x=3，
抛物线与x轴两交点坐标为O（0，0），（6，0），
设抛物线解析式为y=ax（x-6），
将C点坐标代入，得a=-
，∴y=-
x（x-6）=-
x2+
x，
由C点坐标可知，直线OC解析式为y=
x，
∵DF∥OC，
∴设直线DF解析式为y=
x+k，
将D（5-t，0）代入得k=
（t-5），
∴直线DF：y=
x+
（t-5），
设△OAG的OA边上高为h，由S△OAG=S梯形OABC，得
×5×h=
×（4+5）×
，
解得h=
，
将y=
代入y=-
x（x-6）中，得x=3，
∴G（3，
），
代入直线DF：y=
x+
（t-5）中，得t=3.8，
∵0≤t≤5，
∴存在，t=3.8．
点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据直角梯形的特点求顶点坐标，确定抛物线解析式，根据面积关系，列方程求解．
（2）依题意得D（4-t，0），求出直线OC解析式，根据DF∥OC确定直线DF解析式，再由△OAG的面积与梯形OABC的面积相等，求出G点纵坐标，根据G点在抛物线上求G点横坐标，代入直线DF解析式求t，判断是否符号t的取值范围即可．
解答：解：（1）依题意得OA=5，
当0≤t＜1时，s=
t2，当1≤t＜2时，s=
-（2-t）2=-t2+2t-，当2≤t≤5时，s=
；（2）存在．
依题意，得C（1，
），B（5，），抛物线对称轴为x=3，抛物线与x轴两交点坐标为O（0，0），（6，0），
设抛物线解析式为y=ax（x-6），
将C点坐标代入，得a=-
，∴y=-x（x-6）=-x2+x，由C点坐标可知，直线OC解析式为y=
x，∵DF∥OC，
∴设直线DF解析式为y=
x+k，将D（5-t，0）代入得k=
（t-5），∴直线DF：y=
x+（t-5），设△OAG的OA边上高为h，由S△OAG=S梯形OABC，得
×5×h=×（4+5）×，解得h=
，将y=
代入y=-x（x-6）中，得x=3，∴G（3，
），代入直线DF：y=
x+（t-5）中，得t=3.8，∵0≤t≤5，
∴存在，t=3.8．
点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据直角梯形的特点求顶点坐标，确定抛物线解析式，根据面积关系，列方程求解．
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如图，在梯形OABC中，CB∥OA，O为坐标原点，点C在y轴上，点A在x轴上，OC=4，tan∠OAB=2，以点B为顶点的抛物线经过O、A两点．求梯形OABC的面积．
