Question

3．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，OD⊥BC于点D．连接DO并延长到F使AF=OC．
（1）求证：△AOC≌△OAF；
（2）探究：当∠1等于多少度时，四边形OCAF是菱形？请回答并给予证明．

Answer 1

分析 （1）证出△AOF和△AOC是等边三角形，由SAS即可证出；△AOC≌△OAF；
（2）要四边形OCAF是菱形，需OC=CA=AF=OF，即△AOC为等腰三角形，∠2=60°，那么∠1=30°．

解答 （1）证明：∵AF=OC=OF=AO，
∴△AOF为等边三角形，
∴∠3=60°，且∠3=∠DOB=60°，
又∵OD⊥BC，
∴D是BC的中点，∠1=30°；
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠2=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∵△AOF是等边三角形，
∴AF=OC=OF=AO，
在△AOC和△OAF中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=OF}&{\;}\\{∠2=∠3}&{\;}\\{OA=AO}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△AOF（SAS）；
（2）解：当∠1=30°时，四边形OCAF是菱形．理由如下：
∵∠1=30°AB是直径，
∴∠BCA=90°，
∴∠2=60°，而OC=OA，
∴△OAC是等边三角形，
∴OA=OC=CA，
又∵D，O分别是BC，BA的中点，
∴DO∥CA，
∴∠2=∠3=60°而OC=OA=AF．
∴△OAF是等边三角形，
∴AF=OA=OF，（9分）
∴OC=CA=AF=OF，
∴四边形OCAF是菱形．

点评 本题考查了全等三角形的判定、等边三角形的判定与性质、菱形的判定、圆周角定理、三角形中位线定理；熟练掌握全等三角形的判定和菱形的判定，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．