Question

【题目】如图，以点O为圆心，OE为半径作优弧EF，连接OE，OF，且OE＝3，∠EOF＝120°，在弧EF上任意取点A，B（点B在点A的顺时针方向）且使AB＝2，以AB为边向弧内作正三角形ABC．

（1）发现：不论点A在弧上什么位置，点C与点O的距离不变，点C与点O的距离是　 　；点C到直线EF的最大距离是　 　．

（2）思考：当点B在直线OE上时，求点C到OE的距离，在备用图1中画出示意图，并写出计算过程．

（3）探究：当BC与OE垂直或平行时，直接写出点C到OE的距离．

Answer 1

【答案】（1）；；（2）示意图见解析，点C到OE的距离为；（3）当BC与OE垂直或平行时，点C到OE的距离为或．

【解析】

（1）连接OB,OA,再连接OC并延长交AB于点G, 易知GO为线段AB的垂直平分线，通过勾股定理分别计算CG,GO的长，得到CO=GO-CG为定值即可；延长CO交EF于点H，当CO⊥EF时，点C到直线EF的距离最大，最大距离为CH的长，且CH=CO+OH,只需计算OH即可求出最大距离CH的长；

（2）过点C作OE的垂线，垂足为M，易证△OCM∽△OBG，得到，从而得到CM的长，即为点C到OE的距离；

（3）因为OC长不变，已求得，当BC与OE垂直或平行时，过点C作OE的垂线，利用OC不变，通过解相应的直角三角形，得到点C到OE的距离.

解：（1）如图1，连接OA、OB、OC，延长OC交AB于点G，

在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝2，

∵OA＝OB，AC＝BC，

∴OC垂直平分AB，

∴AG＝AB＝1，

∴在Rt△AGC中，由勾股定理得：CG＝，

在Rt△AGO中，由勾股定理得：OG＝，

∴OC＝；

如图2，延长CO交EF于点H，

当CO⊥EF时，点C到直线EF的距离最大，最大距离为CH的长，

∵OE＝OF，CO⊥EF，

∴CO平分∠EOF，

∵∠EOF＝120°，

∴∠EOH＝∠EOF＝60°，

在Rt△EOH中，cos∠EOH＝，

∴cos60°＝＝，

∴OH＝，

∴CH＝CO+OH＝，

∴点C到直线EF的最大距离是．

故答案为：；．

（2）如图3，当点B在直线OE上时，过点C作OE的垂线，垂足为M

由OA＝OB，CA＝CB可知，

点O，C都在线段AB的垂直平分线上，

过点C作AB的垂线，垂足为G，

则G为AB中点，直线CG过点O．

∴由∠COM＝∠BOG，∠CMO＝∠BGO

∴△OCM∽△OBG，

∴，

∴，

∴CM＝，

∴点C到OE的距离为．

（3）如图4，当BC⊥OE时，设垂足为点M，

∵∠EOF＝120°，

∴∠COM＝180°﹣120°＝60°，

∴在Rt△COM中，sin∠COM＝，

∴sin60°＝＝，

∴CM＝CO＝（）＝；

如图5，当BC∥OE时，过点C作CN⊥OE，垂足为N，

∵BC∥OE，

∴∠CON＝∠GCB＝30°，

∴在Rt△CON中，sin∠CON＝，

∴sin30°＝＝，

∴CN＝CO＝（）＝；

综上所述，当BC与OE垂直或平行时，点C到OE的距离为或．