题目内容
【题目】如图，二次函数
的图像与x轴交于A，B两点（点B在点A左侧），与y轴负半轴相交于点C，且tan∠ABC=3，
（1）求该二次函数的解析式；
（2）设E是位于第四象限抛物线上的一个动点，过E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH，则在点E运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；
（3）设点P是x轴下方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，求△PAC面积的取值范围，当△PAC面积为整数时，这样的△PAC有几个？
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，这样的
有11个
【解析】
（1）抛物线解析式为
，求出点A，B的坐标，根据
求出点C的坐标，代入抛物线解析式求解即可；
（2）抛物线的对称轴为直线
，设
，分两种情况，当
与当
，根据
列式求解；
（3）设
，分两种情况考虑，当
时，由于S△ABC＝6，可求出△PAC面积的取值范围，当
时，作
轴交
于点
，根据直线的解析式可得出点，根据
列式求解，进而得解．
解：（1）抛物线解析式为，
，
，
，
，
，
把
代入得
，
解得，
，
所以二次函数解析式为
，即；
（2）抛物线的对称轴为直线，设，
当时，如图1，
，
，
矩形
为正方形，
，即
，
整理得，
，
解得，
（舍去），
（舍去）；
当时，如图2，
，，
矩形为正方形，
，即
，
整理得，
，
解得
，
（舍去），
此时正方形的边长为；
综上所述，正方形的边长为；
（3）设，
当时，
，
，
当时，作轴交于点，如图3，易得直线的解析式为
，则
，
，
，
当
时，
的面积的最大值为
，即
，
综上所述，，
面积为整数时，它的值为1、2、3、4、5，即有11个．
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