题目内容
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，4），顶点为（1，
）．（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使△CDP为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P的坐标；
（3）若点E是线段AB上的一个动点（与A、B不重合），分别连接AC、BC，过点E作EF∥AC交线段BC于点F，连接CE，记△CEF的面积为S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此时E点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）将抛物线的顶点代入到抛物线的顶点式中得到y=a （ x-1）2+
，然后将与y轴交于点C代入到上式中即可求得函数的解析式；
（2）利用等腰三角形的性质即可得到P点的坐标分别为P1 （1，
），P2 （1，-
），P3 （1，8），P4 （1，
）；
（3）求得抛物线与x轴的交点坐标，然后过点F作FM⊥OB于点M，利用△BEF∽△BAC即可得到函数关系式S=-
x2+
x+
，配方后即可求得最大值，从而求得E点的坐标．
解答：解：（1）∵抛物线的顶点为（1，
）
∴设抛物线的函数关系式为y=a （ x-1）2+
∵抛物线与y轴交于点C （0，4），
∴a （0-1）2+
=4
解得a=-
∴所求抛物线的函数关系式为y=-
（ x-1）2+
（2）P1 （1，
），P2 （1，-
），P3 （1，8），P4 （1，
），
（3）存在．
令-
（ x-1）2+
=0，解得x1=-2，x2=4
∴抛物线y=-
（ x-1）2+
与x轴的交点为A （-2，0）B（4，0）
过点F作FM⊥OB于点M，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴
=
又∵OC=4，AB=6，
∴MF=
×OC=
EB
设E点坐标为 （x，0），则EB=4-x，MF=
（4-x）
∴S=S△BCE-S△BEF=
EB•OC-
EB•MF
=
EB（OC-MF）=
（4-x）[4-
（4-x）]
=-
x2+
x+
=-
（ x-1）2+3
∵a=-
＜0，
∴S有最大值
当x=1时，S最大值=3
此时点E的坐标为 （1，0）．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
，然后将与y轴交于点C代入到上式中即可求得函数的解析式；（2）利用等腰三角形的性质即可得到P点的坐标分别为P1 （1，
），P2 （1，-
），P3 （1，8），P4 （1，
）；（3）求得抛物线与x轴的交点坐标，然后过点F作FM⊥OB于点M，利用△BEF∽△BAC即可得到函数关系式S=-
x2+
x+
，配方后即可求得最大值，从而求得E点的坐标．解答：解：（1）∵抛物线的顶点为（1，
）∴设抛物线的函数关系式为y=a （ x-1）2+
∵抛物线与y轴交于点C （0，4），
∴a （0-1）2+
=4解得a=-
∴所求抛物线的函数关系式为y=-
（ x-1）2+
（2）P1 （1，
），P2 （1，-
），P3 （1，8），P4 （1，
），（3）存在．
令-
（ x-1）2+
=0，解得x1=-2，x2=4∴抛物线y=-
（ x-1）2+
与x轴的交点为A （-2，0）B（4，0）过点F作FM⊥OB于点M，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴
=
又∵OC=4，AB=6，
∴MF=
×OC=
EB
设E点坐标为 （x，0），则EB=4-x，MF=
（4-x） ∴S=S△BCE-S△BEF=
EB•OC-
EB•MF=
EB（OC-MF）=
（4-x）[4-
（4-x）]=-
x2+
x+
=-
（ x-1）2+3∵a=-
＜0，∴S有最大值
当x=1时，S最大值=3
此时点E的坐标为 （1，0）．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
练习册系列答案
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